MATRICES

1. Concepto de matriz. Se llama matriz de dimensión mxn a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: Las matrices suelen escribirse con letras mayúsculas A,B,C,... El símbolo (aij) designa la matriz completa, mientras que aij representa un elemento cualquiera de la misma. El número de filas y columnas recibe el nombre de dimensión de la matriz, y se designa por mxn. Si m=n se dice que la matriz es de orden n El número total de elementos de la matriz (aij) es m·n

1. Concepto de matriz. Las matrices cuadradas son las que tienen el mismo número de filas que de columnas. La diagonal principal está formada por los elementos de la forma aii La diagonal secundaria está formada por los elementos aij tales que i + j = n + 1

2. Tipos de matrices. Matrices rectangulares Matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas (m n) Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimensión 1 x n Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimensión m x 1 Matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por 0.

2. Tipos de matrices. Matrices rectangulares matriz nula 3x2 matriz columna 2x1 matriz rectangular 2x3 matriz fila 1x4

2. Tipos de matrices. Matrices cuadradas Matriz cuadrada de orden n es aquella que tiene igual número de filas que de columnas (m = n) Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los términos por debajo de la diagonal principal son ceros. Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los términos por encima de la diagonal principal son ceros. Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos no situados en la diagonal principal son ceros. Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales. Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos unos. Se designa por I

2. Tipos de matrices. Matrices cuadradas matriz cuadrada de orden 2 matriz triangular superior de orden 3 matriz triangular inferior de orden 3 matriz diagonal de orden 3 matriz escalar de orden 2 matriz unidad de orden 3

2. Tipos de matrices. Matriz traspuesta de A, y se representa por At, es la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. Si A tiene dimensión m x n, At tendrá dimensión n x m. Matriz simétrica es toda matriz cuadrada tal que aij = aji Matriz antisimétrica o hemisimétrica es toda matriz cuadrada tal que aij = - aji (coincide con su traspuesta)

3. Operaciones. Igualdad de matrices Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Suma de matrices. La suma de dos matrices A = (aij) y B = (bij) de la misma dimensión, es otra matriz S = (sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij = aij + bij La suma de las matrices A y B se designa por A + B.

3. Operaciones. Ejemplo. Las dimensiones de A y B han de ser iguales

3. Operaciones. La adición de matrices tiene las siguientes propiedades: 1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 2. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 3. A + 0 = A (0 es la matriz nula) 4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta, ya que A + (-A) = 0

3. Operaciones. A - B = A + (-B) Diferencia de matrices. La diferencia de las matrices A y B se representa por A - B, y se define así A - B = A + (-B) Si D=(dij) es la matriz diferencia de A y B entonces dij = aij - bij

3. Operaciones. Producto de matrices por un número. El producto de una matriz A=(aij) por un número real k es otra matriz B=(bij) de la misma dimensión que A tal que bij = k·aij El producto de la matriz A por el número real k se designa por kA o k·A

3. Operaciones. Ejemplo. El resultado tiene la misma dimensión que la matriz inicial

3. Operaciones. El producto de un número por una matriz verifica las siguientes propiedades: 1. k·(A + B) = k·A + k·B (propiedad distributiva) 2. (k + h)·A = k·A + h·A (propiedad distributiva) 3. k·(h·A) = (k·h)·A (propiedad asociativa) 4. 1·A = A (elemento neutro) Propiedades simplificativas. 1. A + C = B + C es equivalente a A = B 2. k·A = k·B es equivalente a A = B si k es distinto de cero 3. k·A = h·A es equivalente a h = k si A es distinta de cero

4. Producto de matrices. Producto de dos matrices. La multiplicación de dos matrices cualesquiera no tiene por qué estar definida, e incluso aunque lo esté, no tiene por que ser conmutativa. Por tanto hay que precisar el orden de los dos factores de un producto de matrices. Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz. El producto de la matriz A=(aij) de dimensión mxn por la matriz B=(bij) de dimensión nxq, es otra matriz P=(pij) de dimensión mxq que se obtiene

4. Producto de matrices. Ejemplos.

4. Producto de matrices. El producto de matrices verifica las siguientes propiedades: A·(B·C) = (A·B)·C ( propiedad asociativa) A·B B·A (no es conmutativa) Si A es una matriz cuadrada de orden n A·In = In·A = A Dada una matriz A de orden n, no siempre existe otra B tal que A·B = B·A = In Si existe la matriz B se dice que es la matriz inversa de A, y se designa por A-1

5. Matrices inversibles. Dos matrices de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad de orden n. Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario se dice singular. Se puede obtener la matriz inversa, planteando un sistema de ecuaciones a partir de la definición.

5. Matrices inversibles. Ejemplo: Dada para obtener se ha de cumplir:

¡ ¡ C U I D A D O ! ! A·B = 0 no quiere decir que A = 0 o B = 0 A·B = A·C no quiere decir que B = C (A + B)2 no quiere decir que sea A2 + B2 + 2A·B (A - B)2 no quiere decir que sea A2 + B2 - 2A·B (A + B)·(A – B) no quiere decir que sea A2 – B2

6. Rango de una matriz. Una fila (o columna), I, no nula, depende linealmente de sus paralelas, I1, I2, I3, ... ,In, si existen unos números reales, a1, a2, a3, ..., an, no todos nulos, tales que I = a1I1 + a2I2 + a3I3 + … + anIn Una fila (o columna), I, no nula, es linealmente independiente de las filas o columnas si no se pueden escribir en la forma anterior. Se demuestra que en una matriz el número de filas linealmente independientes es igual al número de columnas linealmente independientes. A este número se le llama rango de la matriz.

6. Rango de una matriz. Cálculo del rango de una matriz por el método de reducción, cascada, o de Gauss. Para realizar este cálculo: Se pueden suprimir sin que varíe el rango: Las filas o columnas nulas Las filas o columnas proporcionales a otras Las filas o columnas dependientes de otras Se pueden realizar las siguientes operaciones sin que varíe el rango. Multiplicar una fila o columna por un número distinto de cero Sumar o restar una fila o columna a otra Aplicando estos procesos se puede llegar a una matriz escalonada que indica el número de filas o columnas independientes.

6. Rango de una matriz. Este es un esquema de lo explicado anteriormente (los asteriscos indican cualquier número). rango 4 rango 3 rango 2 rango 1

7. Matriz inversa por el método de Gauss. Se parte del siguiente esquema inicial, siendo A=(aij) la matriz dada e I3 la matriz unidad. A I3 Y se llega a la expresión: I3 A-1

7. Matriz inversa por el método de Gauss. Para ello se utilizan las siguientes reglas: Regla 1 : Multiplicar una fila por un número distinto de cero Regla 2: Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número Si en el proceso aparece en el lugar de la matriz A alguna fila nula, la matriz no tiene inversa. Una matriz cuadrada es inversible o regular cuando su rango coincide con su orden, es decir cuando las filas son linealmente independientes.

7. Matriz inversa por el método de Gauss. Ejemplo. Calcular la inversa de Por tanto

Ejemplo. Calcular la inversa de Por tanto