SUCESIONES Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los números naturales en el conjunto de los números reales: s: N R de manera que a cada número natural le corresponde un real. La expresión que permite expresar un término en función del lugar que ocupa recibe el nombre de término general de la sucesión. Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que cada uno de sus términos, excepto el primero, se obtiene multiplicando al anterior una cantidad constante llamada razón (r). Término general: an = a1 · rn–1 Suma de los n primeros términos: Suma de los infinitos términos: O Si r ≥ 1, S∞ = +∞ O Si r ≤ -1, S∞ no existe O Si -1 < r < 1, S∞ = Producto de los n primeros términos: Pn = S n = a 1 . ( r - ) Una progresión aritmética es una sucesión de números reales en la que cada uno de sus términos, excepto el primero, se obtiene sumando al anterior una cantidad constante que se denomina diferencia (d). Término general: an = a1 + (n – 1) · d Suma de los n primeros términos: S n = a 1 + a 2 .
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN El valor al que se acerca indefinidamente los términos de una sucesión se llama límite. lim an = L n ∞ Una sucesión an, tiene límite L si, cuando n tiende a infinito, la diferencia entre an y L es cada vez menor. Es decir, cuando n ∞, |an - L| 0. Una sucesión tiene límite +∞ cuando, para cualquier número real y positivo k, siempre existe un valor n0 de n, a partir del cual los términos de la sucesión son mayores que k: lim an = +∞ n ∞ Una sucesión tiene límite -∞ cuando, para cualquier número real y negativo k, siempre existe un valor n0 de n, a partir del cual los términos de la sucesión son menores que k: lim an = -∞ Sucesión convergente: tiene un límite finito. Sucesión nula o infinitésimo: su límite es cero. Sucesión divergente: tiene límite +∞ o -∞.
Cociente de sucesiones Producto de sucesiones Potencia de sucesiones OPERACIONES CON SUCESIONES Adición de sucesiones lim (xn + yn) = lim xn + lim yn n ∞ Cociente de sucesiones siempre que yn no sea una sucesión nula. n ∞ Producto de sucesiones lim (xn · yn) = lim xn · lim yn n ∞ Potencia de sucesiones lim (xn)yn = (lim xn)lim yn Las sucesiones xn e yn pueden ser convergentes o divergentes. Podemos obtener las indeterminaciones ∞0, 00 y 1∞. n ∞
CÁLCULO DEL LÍMITE DE SUCESIONES Sucesiones que tienen término general como un polinomio en n siempre son divergentes. Su límite será +∞ o -∞ en función del signo del coeficiente del término de mayor grado. Sucesiones con radicales del tipo ,donde an es un polinomio en n, siempre son divergentes. Su límite será +∞ o -∞ en función del signo del coeficiente del término de mayor grado. Si k es par, el coeficiente del término de mayor grado no puede ser negativo. En una sucesión cuyo término general es la suma o diferencia de dos raíces, puede dar lugar a la indeterminación (+∞) + (-∞) , que se resuelve comparando los grados de los términos de mayor grado y los índices de las raíces: si son iguales y tienen el mismo índice, el signo del infinito se determina por sus coeficientes. si, además, tienen el mismo coeficiente, se multiplica por el conjugado de la suma de raíces: li m a n + b = ( ) . - Sucesiones que tienen término general como un cociente de polinomios son: divergentes: si el grado del numerador es mayor que el del denominador. límite +∞ si los signos de los términos de mayor grado del numerador y del denominador coincide. límite -∞ si los términos de mayor grado del numerador y del denominador tienen signos distintos. convergentes: límite cero si el grado de numerador es menor que el del denominador. limite L si el grado del numerador es igual al del denominador. L = coef i c ente de l té r m no ayor gra do
EL NÚMERO e n ∞ e = lim (1 + 1 n ) Sucesiones cuyo término general es: · (1 + 1 n ) + a li m (1 n + = . = e 1 = e n + a - ( 1 + n+ n ∞ Sucesiones cuyo término general es: · (1 + 1 n ) k li m (1 + kn = e n + a n ∞
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES
CONTINUIDAD Una función f(x) es continua en a si: Existe f(a) Existe lim f(x) = f(a) Clasificación de discontinuidades Discontinuidad evitable se produce cuando: O Existe f(a) y lim f(x), pero f(a) ≠ lim f(x) O No existe f(a) y sí lim f(x) Discontinuidad de salto finito se produce cuando no existe lim f(x) porque los dos límites laterales son finitos, pero desiguales. Discontinuidad asintótica o de salto infinito se produce cuando uno o los dos límites laterales son infinito. En este caso, f(a) puede existir o no n a n a Si no cumple alguna de las condiciones, f(x) es discontinua en a. Propiedades de las funciones continuas Si f(x) y g(x) son continuas en a entonces: O (f + g)(x) es continua en a O (f · g)(x) es continua en a O ( )(x) es continua en a, si g(a) ≠ 0 Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a) entonces la composición (g ◦ f)(x) es continua en a.