ESPAD III * PC 09 MONOMIOS Y POLINOMIOS

Suma de monomios La suma ( o diferencia ) de dos monomios semejantes es otro monomio, que tiene como coeficiente la suma ( o diferencia ) de coeficientes y como parte literal la misma que la de los sumandos. Si los monomios no son semejantes, el resultado es un POLINOMIO EJEMPLOS 4.x3 + 7.x3 - 5.x3 = ( 4 + 7 – 5 ).x3 = 6.x3  Monomio 4.x3 + a.x3 - x3 = ( 4 + a – 1 ).x3 = ( 3 + a ).x3  Monomio 4.x3 + 7.x3 - 5.x2 = ( 4 + 7).x3 - 5.x2 = 11.x3 - 5.x2  Polinomio

EJEMPLOS 4.x3 + 5.x3 = (4+5).x3 = 9.x3 3.x2 – 5.x2 = (3 – 5).x2 = – 2 .x2 2.x4 – 7.x4 + 8.x4 = (2 – 7 + 8).x4 = 3.x4 7.x3 + a.x3 = (7 – a).x3 5.x2 + a.x2 + x2 = (5+a+1).x2 = (6+a).x2 Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios semejantes es siempre un monomio, aunque su coeficiente sea mixto.

EJEMPLOS 4.x3 + 5.x = 4.x3 + 5.x 3.x2 – 5.x2 + 4.x = (3 – 5).x2 + 4.x = – 2 .x2 + 4.x 2.x4 – 7.x3 + 8.x4 = (2 + 8).x4 – 7. x3 = 10.x4 – 7.x3 7.x3 + a.x3 + 3.x – 5 = (7 – a).x3 + 3.x – 5 5.x3 + a.x2 + x3 = (5+1).x3 + a.x2 = 6.x3 + a.x2 Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios no semejantes es siempre un polinomio.

Producto de monomios El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores. EJEMPLO Sea 4.x3 y 5.x2 (4.x3 ). (5.x2 ) = 4.5. x3+2 = 20.x5 Sea 7.x3 y 5.a.x3 (7.x3 ). (5.a.x3 ) = 7.5.a. x3+3 = 35.a.x6

PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO Sea el monomio 4.x3 y P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x (4.x3).P(x) = ( 4.x3 ).(5.x4 + 4.x3 - 2.x ) = = ( 4.x3 ).(5.x4 ) + ( 4.x3 ).(4.x3 ) + ( 4.x3 ).( - 2.x ) = = 20.x7 + 16.x6 - 8.x4

OTRO EJEMPLO Sea el monomio 4.x P(x) = 5.x2 + 4.x – 2 (4.x).P(x) = ( 4.x). (5.x2 + 4.x – 2) = = (4.x).(5.x2 ) + (4.x).( 4.x ) + (4.x).(– 2) = = 20.x3 + 16.x2 - 8. x UN EJEMPLO MÁS Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x2 + 4.a2.x (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x2 + 4.a2.x) = = (4.a.x).(5.a.x2 ) + (4.a.x).( 4.a2.x ) = 20.a2.x3 + 16.a2.x2

División de monomios La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y divisor. EJEMPLO Sea 20.x5 y 5.x2 (20.x5 ) : (5.x2 ) = (20/5). x 5 – 2 = 4.x3 Sea 2.x3 y 5.x (2.x3 ) : (5.x ) = (2/5). x 3 – 1 = 0,4.x2

COCIENTE DE MONOMIOS EJEMPLO Sea 4.x3 y 5.x2 El cociente de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de los monomios factores. EJEMPLO Sea 4.x3 y 5.x2 (4.x3 ) / (5.x2 ) = (4/5). x3 – 2 = 0,8.x Sea 14.x5 y 7.a.x3 (14.x5 )/ (7.a.x3 ) = (14/7.a). x5 – 3 = (2/a).x2

Potencia de monomios La potencia de un monomio es otro monomio, que tiene como coeficiente la potencia del coeficiente de la base, como variable la misma y grado el producto de las potencias. EJEMPLO 1 Sea (4.x3)2 (4.x3)2 = (4)2. (x3)2 = 16. x3.2 = 16.x6 EJEMPLO 2 Sea [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 = 33 . ( x 5x2) 3 = 33 . x 5x2x3 = 27 . x 30

EJEMPLO 3 Sea [(1/2 ).x2 ]3 (1/2)3. (x2 )3 = (1/8). x2.3 = (1/8).x6 EJEMPLO 4 Sea (2.x4 )5 (2)5. (x4)5 = 32.x4.5 = 32.x20 EJEMPLO 5 Sea (2.x3 .y)4 (2)4. (x3)4 .y4 = 16.x3.4 .y4 = 16.x12.y4

VALOR NUMÉRICO El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que se obtiene al sustituir la variable en la expresión algebraica por un número y realizar las operaciones. EJEMPLOS Hallar el valor numérico de: 4.x3 , para x = 2  4. 23 = 4.8 = 32 3.x2 – 4 , para x = (– 1)  3.(– 1)2 – 4 = 3.1 – 4 = 3 – 4 = – 1 2.x3 – 3.x , para x = 4  2.43 – 3.4 = 2.64 – 12 = 128 – 12 = 116 7 + 5.x – x2 , para x = 5  7 + 5.5 – 52 = 7 + 25 – 25 = 7 x3 – 3.x2 – 2.x + 7 , para x = – 2  (– 2)3 – 3.(– 2)2 – 2.(– 2) + 7 = = – 8 – 3.4 + 4 + 7 = – 8 – 12 + 4 + 7 = 11 – 20 = – 9

Suma de Polinomios

Aclaración previa a la forma de operar Se puede hacerlo así: P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x Q(x) = 3.x3 + 5.x - 3 P(x) + Q(x) = 5.x4 + 7.x3 + 3.x – 3 Pero es recomendable hacerlo así: (5.x4 + 4.x3 - 2.x) + (3.x3 + 5.x - 3) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x + 3.x3 + 5.x - 3 = = 5.x4 + 7.x3 + 3.x – 3

SUMA DE POLINOMIOS La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes. La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - 3 P(x) + Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) + (7.x3 + 5.x2 – 3 ) = = 4.x3 + 7.x2 - 5.x + 7.x3 + 5.x2 - 3 = = 11.x3 + 12.x2 - 5.x - 3

DIFERENCIA DE POLINOMIOS Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto al sustraendo. Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - 3 P(x) - Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) - (7.x3 + 5.x2 – 3 ) = = 4.x3 + 7.x2 - 5.x - 7.x3 - 5.x2 + 3 = = - 3.x3 + 2.x2 - 5.x + 3