Cálculo Diferencial e Integral Integración por partes Área Académica: Ingeniería Mecánica Profesor(a): M. en C. Yira Muñoz Sánchez Dr. Miguel Ángel Abreu Quijano Periodo: Enero – Junio 2015

Cálculo Diferencial Resumen En este material se presenta el proceso de integración por partes y algunos ejemplos. Abstract This material presents integration by parts process with some examples. Keywords: integration by parts, integration.

Integración por partes (1) La derivada del producto de dos funciones es: 𝑢 𝑣 ′ = 𝑢 ′ 𝑣+𝑢 𝑣′ d 𝑢 𝑣 ′ =𝑑𝑢 𝑣+𝑢 𝑑𝑣 Integración por partes (1)

Integrando: 𝑑 𝑢𝑣 = 𝑑𝑢 𝑣+ 𝑢 𝑑𝑣 𝑢𝑣= 𝑑𝑢 𝑣+ 𝑢 𝑑𝑣 Integración por partes (2)

Despejando: 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑑𝑢 𝑣 Integración por partes (3)

𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − 𝒗 𝒅𝒖 𝒖 𝒗 ′ 𝒅𝒙 = 𝒖𝒗 − 𝒖 ′ 𝒗 𝒅𝒙 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − 𝒗 𝒅𝒖 𝒖 𝒗 ′ 𝒅𝒙 = 𝒖𝒗 − 𝒖 ′ 𝒗 𝒅𝒙 Fórmula de Integración por partes Permite calcular la integral del producto de dos funciones

Integración por partes (4) La Integración por Partes es particularmente eficaz para integrandos donde aparecen productos de funciones algebraicas y trascendentes.

Estrategia para Integrar por partes Intente tomar como dv la porción más complicada del integrando que se ajuste a una regla básica de integración y como u el factor restante del integrando. Intente tomar como u la porción del integrando cuya derivada es una función más simple que u y como dv el factor restante del integrando.

𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 Ejemplo1 (1)

𝒙 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝑢=𝑥 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑢 ′ =1 d 𝑢 = dx 𝑣 ′ = 𝑒 𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑣= 𝑒 𝑥 d 𝑣 = 𝑒 𝑥 dx 𝑣 = 𝑒 𝑥 𝒙 𝒆 𝒙 − 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 =𝒙 𝒆 𝒙 − 𝒆 𝒙 +𝑪 Ejemplo1 (2)

𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝑢=𝑥 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑢 ′ =1 𝑣 ′ =𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑣=𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙+ 𝐜𝐨𝐬 𝒙+𝑪 Ejemplo2

Referencias LARSON E. R., HOSTETLER R.P., EDWARDS B. H., Cálculo y Geometría Analítica, Sexta Edición, Volumen 1, Mc Graw Hilll. STEWART J. , Introducción al Cálculo, Thomson STEWART J. , Calculus. Early Trascendentals, Sixth Edition, Thomson