FUNCIONES TROCEADAS DÍA 32 * 1º BAD CT

FUNCIONES TROCEADAS Ejemplo 1 Tenemos troceada la función en cuatro partes, cada una de las cuales es, en este caso, una función lineal. Se expresaría así: 0 si 0 ≤ x < 5 x – 5 si 5 ≤ x < 15 f(x) = 5 si 15 ≤ x < 20 -2x+25 si 20 ≤ x < 25 5 0 5 15 20 25 Ejemplo Práctico correspondiente: Una atracción de feria, una noria, donde el eje de abscisas son los tiempos y el eje de ordenadas es la velocidad que alcanza.

Ejemplo 2 Tenemos troceada la función en tres partes, cada una de las cuales es, en este caso, una función lineal. 100 50 Ejemplo Práctico correspondiente: Una máquina está funcionando de manera que su temperatura aumenta linealmente con el tiempo. Al alcanzar los 100ºC se para, permaneciendo en reposo 5 mn. Tras ese periodo de descanso vuelve a funcionar. 0 10 15 25 La función se expresaría así: 10.x si 0 ≤ x ≤ 10 f(x) = 0 si 10 < x ≤ 15 10.x - 150 si 15 ≤ x ≤ 25

Ejemplo 3 Tenemos troceada la función en tres partes, cada una de las cuales es, en este caso, una función cuadrática, una f. constante y una f. lineal. 3 2 1 Ejemplo Práctico correspondiente: Al variar la temperatura ambiente entre -5ºC y 20ºC observamos la variación que sufre el índice de crecimiento de un determinado compuesto biológico. Crecimiento actual i = ------------------------------ Crecimiento anterior A iguales periodos de tiempo - 5 0 5 10 20 La función se expresaría así: (3/25).x2 si -5 ≤ x < 5 f(x) = 3 si 0 ≤ x ≤ 10 - 0,3.x + 6 si 10 < x ≤ 20

Ejemplo 4 de función definida a trozos Lo que cobra Correos por el envío postal de un paquete depende, fundamentalmente del peso en gramos. Si, por ejemplo, por un paquete de 399,99 g nos cobran 4 €, por otro de 400 g nos llevarían 6 €. Por muy pequeño que sea el incremento de peso, el incremento de precio puede ser muy notable si nos movemos cerca de puntos que presentan una discontinuidad. P = f (p) en € 10 6 4 2 1 p 0 100 200 400 700 peso en g

OPERACIONES CON FUNCIONES FUNCIÓN SUMA (DIFERENCIA) Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función SUMA (DIFERENCIA) y la denotamos así: (f±g)(x) = f(x) ± g(x) Para Vxє[Dom f(x) ^Dom g(x)] FUNCIÓN PRODUCTO Llamamos función PRODUCTO y la denotamos así: (f.g)(x) = f(x) . g(x) Para Vx є [Dom f(x) ^Dom g(x)] FUNCIÓN DIVISIÓN Llamamos función DIVISIÓN y la denotamos así: (f/g)(x) = f(x) / g(x) Para Vx є [Dom f(x) ^Dom g(x)] , con g(x)<>0 FUNCIÓN RECÍPROCA Sea f(x) una función real de variable real tal que f(x) <>0. Llamamos función RECÍPROCA y la denotamos así: (1/f)(x) = 1 / f(x)

EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN SUMA Sea f(x) = x+1 y g(x) = 1 / ( x – 1). Dom f(x) = R , pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R – {1} , pues cuando x=1  f(1) = 1/0 = ∞ , que no existe. Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x+1 + 1 / ( x – 1) = (x2 – 1 +1) /(x-1) = x2 / (x-1) Como se ve Dom (f+g)(x) = R – {1} , intersección de los dominios. La función suma es posible efectuarla en todo R excepto en x=1 EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN SUMA Sea f(x) = √x y g(x) = √-x Dom f(x) = R+ , pues x debe ser positivo para que exista una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R- , pues x debe ser negativo para que exista una imagen o valor de f(x) Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = √x +√-x Como se ve Dom (f+g)(x) = 0, intersección de los dominios. La función suma sólo existe cuando x=0

EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) = x -1 y g(x) = 1 / ( x – 1). Dom f(x) = R , pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R – {1} , pues cuando x=1  f(1) = 1/0 = ∞ , que no existe. Sea (f . g)(x) = f(x) . g(x) = ( x – 1) . 1 / ( x – 1) = (x – 1) / (x - 1) = 1 A pesar de que el resultado, (f.g)(x) = 1) es una constante, independiente de x , el Dom (f .g)(x) = R – {1} , intersección de los dominios. EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) = √x - 1 y g(x) = √ 2 - x Dom f(x) = V x є [1 , +∞) Dom g(x) = V x є (-∞ , 2] Sea (f .g)(x) = f(x) . g(x) = √x-1 .√2-x = √ - x2 + 3x - 2 Como se ve Dom (f+g)(x) = [1, 2], intersección de los dominios.

EJEMPLO 1 DE FUNCIÓN RECÍPROCA Sea f(x) = x , tal que f(x) <>0. (1/f)(x) = 1 / f(x) = 1 / x , donde el Dom (1/f)(x) = R – {0} EJEMPLO 2 DE FUNCIÓN RECÍPROCA Sea f(x) = 1 / (x – 2) , tal que f(x) <>0 . (1/f)(x) = 1 / f(x) = x - 2 , donde el Dom (1/f)(x) = R EJEMPLO 3 DE FUNCIÓN RECÍPROCA Sea f(x) = ( x – 1) / (x + 2) , tal que f(x) <>0. (1/f)(x) = 1 / f(x) = (x + 2) / (x -1) , donde el Dom (1/f)(x) = R – {1} pues en x=1  f(x) = 0