TEOREMA DE THALES ESPAD III * TC 22

Teorema de Tales A Si dos rectas secantes (en rojo en la figura) son cortadas por rectas paralelas entre sí (en azul en la figura), los segmentos que determinan en las rectas secantes son proporcionales. Podemos poner: AB’ AC’ B’C’ ----- = ----- = ------ = r AB AC BC Y también: AB” AC” B”C” ----- = ----- = ------ = r’ Los triángulos ABC, AB’C’ y AB”C” son semejantes. B” C” B’ C’ B C

Teorema de Tales A A’ B B’ C C’ Por el Teorema de Tales: AB BC AC Los segmentos que determinan las tres rectas paralelas sobre las rectas secantes son proporcionales. En el ejemplo de la figura: 2,5 2,5 5 ----- = ----- = ----- 2 2 4 1,25 = 1,25 = 1,25 A A’ B B’ C C’

Triángulos en posición de Tales Dos o más triángulos están en posición de Tales si comparten un ángulo y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. En la figura comparten el ángulo A y los lados a, a’, a’’ son paralelos. Si dos o más triángulos están en posición de Tales, entonces son semejantes y se cumple: a b c ----- = ----- = ------ = r a’ b’ c’ Siendo a, b y c los lados de un triángulo; y a’, b’ y c’ los lados homólogos del otro triángulo. A c’’ b’’ B” C” a’’ c’ b’ c b B’ C’ a’ B C a

Sea el triángulo ABC tal que, AB=10, BC=6, CA = 8 Ejemplo_1: Sea el triángulo ABC tal que, AB=10, BC=6, CA = 8 Trazamos una recta paralela al lado BC. Los triángulos ABC y AB’C’ son semejantes. Se cumple que: AB’ AC’ B’C’ ----- = ----- = ------ = k AB AC BC 5 4 3 --- = ---- = ---- = 0,5 10 8 6 La razón de semejanza es k=0,5 A B’ C’ B C

Hallar la altura del mayor y la razón de semejanza. Ejemplo_2: Sean dos triángulos isósceles semejantes, cuyas bases miden 12 y 9 cm. La altura del menor es de 3 cm. Hallar la altura del mayor y la razón de semejanza. Se cumple que: BC AH ----- = ----- = k B’C’ AH’ 12 h --- = ---- = 4/3 , que es la razón. 9 3 h =3.4/3 = 12/3 = 4 m A B’ C’ H’ B H C

Problema_1 Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m respectivamente. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: 1 0,5 --- = ------  0,5. h = 8,4  h = 16,8 m H 8,4 H 1 m s S

Problema_2 Un arbusto de 1,35 m de longitud proyecta una sombra de 0,85m. Al mismo tiempo la sombra de la iglesia del pueblo mide 25 m. Hallar la altura de la iglesia. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: h s 1,35 0,85 --- = ------  -------- = -------- H S H 25,42 1,35.25,42 = 0,85.H  34,317 = 0,85.H Luego H = 34,317/0,85 = 40,3729 m H=40373 mm con notable precisión. H=? h=1,35 m s=0,85 S=25,42 m

Problema_3 Hallar la distancia entre las cúspides de dos edificios para poder construir una pasarela entre ambos. 24 m 24 m 60 m

Resolución: Lo primero es idealizar el problema: Los triángulos ABC y A’B’C son semejantes por estar en posición de Tales. Conocemos: CA’=60 m, A’ = 24 m, AB = 24 m Deducimos, por si lo necesitamos CA=CA’ – AA’ = 60 – 24 = 36 m Por el Teorema de Tales: CA CB ------ = ------ AA’ BB’ Por Pitágoras: CB = √ (CA2 + AB2) = = √ (362 + 242) = 43,25 m Volviendo al T. de Tales: 36 43,25 ------ = -------- 24 BB’ Operando: BB’ = 28,83 m B’ B 24 m 24 m A’ 60 m A C=C’

Aplicación Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. 1.- Se traza una recta desde A con una inclinación cualquiera respecto al segmento AB. B A

… Aplicación … Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. 2.- Sobre dicha recta se llevan siete veces consecutivas una distancia d cualquiera. d d d d d d d B A

… Aplicación … Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. 3.- Se une el extremo resultante de la recta con el punto B del segmento a dividir. Se trazan paralelas a la línea trazada anteriormente que pasen por las divisiones de la recta. d d d d d d d B A

… Aplicación. Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. 4.- Los cortes de las paralelas así trazadas con el segmento AB nos determinarán las 7 partes en que queda dividido el segmento AB. d d d d d d d B A