Minitérminos, maxitérminos Dada una expresión que depende de n variables, hay 2 formas en las cuáles la expresión se puede convertir La expresión E tuvo mezclas de términos que eran productos o sumas de otros términos. Aunque en apariencia dependía de tres variables, una era redundante La forma final equivalente correspondía a la suma de dos términos siendo cada uno una literal sencilla

Minitérminos, maxitérminos En general, las expresiones dependen de n variables Una expresión compuesta sólo por sumas de términos y cada término integrado mediante un producto de literales Recibe el nombre de suma de productos (s de p) El número máximo de literales en un producto no redundante es n Una expresión compuesta solo de un producto de términos, y cada término conformado por una suma de literales Es la forma de producto de sumas (p de s)

Definición de formas canónicas Una expresión de suma de productos o de producto de sumas dependiente de n variables es canónica si contiene literales no redundantes y cada producto o suma tiene exactamente n literales

Formas canónicas E1=(x’+y’+z)(x+y+z’)(x+y+z) E2=(x’+y’+z)[(x+y)(x+y)+(x+y)(z+z’)+zz’] Postulado 4a E3=(x’+y’+z)(x+y) Postulado 1 y teorema 3b E4=xy’+x’y+xz+yz Postulado 4a y 5b, teorema 7 Con este proceso, se eliminan redundancias en cada paso La expresión inicial está en p de s en forma canónica La expresión final esta en s de p, pero no canónica

Formas canónicas Dada una expresión canónica de suma de productos, es posible convertirla a la forma canónica El término xy’ en la expresión carece de la variable z Multiplicaremos por (z+z’) que es igual a 1, equivalentes se harán con otros términos E5=xy’(z+z’)+x’y(z+z’)+xz(y+y’)+yz(x+x’) E6=xy’z+xy’z’+x’yz+x’yz’+xyz+xy’z+xyz+x’yz E7=xy’z+xy’z’+x’yz+x’yz’+xyz

Formas canónicas En una expresión de s de p dependiente de n variables, con el fin de distinguir entre los términos producto que tienen n literales (el máximo) y aquellos con un número menor que n, se establece... Un producto de literales no redundante canónico recibe el nombre de minitérmino Una suma de literales no redundante canónica se denomina maxitérmino Convertir a un producto canónico de maxitérminos E=(x+y’)(y’+z’)

Generalización de la ley de De Morgan Esta ley establece que el complemento de la suma (producto) de dos variables de conmutación produce el mismo resultado que multiplicar (sumar) sus complementos (x1+x2+ ... +xn)’=x1’x2’ ... xn’ (x1x2x3 ... xn)’=x1’+x2’+ ... +xn’ El complemento de la suma lógica de cualquier número de variables de conmutación es igual al producto lógico del complemento de esas variables.

Ejemplo a desarrollar Dado... E=xy’z+x’y’z’+x’yz Obtendremos el complemento de E Intercambiaremos las operaciones + y ▪ y se sustituye cada variable por su complemento E’=(x’+y+z’) ▪(x+y+z) ▪(x+y’+z’) E’=xy+yz’+x’y’z+xz’ Tomar el complemento de E’ y ponerla en la forma de suma de productos

Funciones de conmutación Una función de conmutación es una asignación específica de valores de conmutación 0 y 1 para todas las combinaciones posibles de valores que toman las variables de las cuales depende la función El número de funciones de conmutación de n variables es 2 a la 2n

Ejemplo Analizar mediante código decimal, las funciones de las siguientes expresiones... E7=x’yz’+x’yz+xy’z’+xy’z+xyz E1=(x+y+z)(x+y+z’)(x’+y’+z) Las cuales se tomaron del ejemplo del cambio de p de s a s de p De este análisis se establece...

Operaciones de conmutación en funciones de conmutación Dada la forma canónica de la suma de productos de una función de conmutación, la manera de obtener la expresión canónica del producto de sumas es... Se aplica la ley de De Morgan al complemento de cada minitérmino que está ausente en al expresión de suma de productos Luego se forma el producto de los maxitérminos resultantes

Operaciones de conmutación en funciones de conmutación De manera inversa, para obtener la expresión de la suma de productos a partir de una expresión determinada de productos de sumas... Se aplica la ley de De Morgan a cada término suma ausente del producto Luego se forma la suma de los minitérminos resultantes

Ejercicio Dada la expresión del producto de sumas en E1 emplear el enfoque anterior para determinar la forma correspondiente de suma de productos

Operaciones de conmutación en funciones de conmutación Las leyes de conmutación se aplican igualmente a las expresiones de conmutación como a las variables que representan los elementos de conmutación

Función y expresión de conmutación Existe una diferencia en significado entre una función de conmutación y una expresión de conmutación Una función se define listando sus valores de verdad para todas las combinaciones de valores de las variables (tabla de verdad) Una expresión es una combinación de literales vinculadas mediante operaciones de conmutación Para una combinación determinada de valores de variables, la expresión tomará un valor de verdad

Continuación... Si los valores de verdad tomados por una expresión para todas las combinaciones posibles de valores de las variables son los mismos que los correspondientes valores de verdad de la función... Afirmamos en ese caso que la expresión representa la función

Es posible escribir más de una expresión para representar una función específica Lo que es fundamental es la función de conmutación De todas las expresiones que pueden representar una función, podríamos buscar las particulares que de alguna manera ofrezcan una ventaja sobre las otras

Otras operaciones de conmutación OR Exclusiva (XOR) Se le asigna el simbolo Å Asi, xÅy es verdadera cuando x e y tienen valores de verdad opuestos, pero es falsa cuando x e y tienen el mismo valor. xÅy = x’y+xy’ Ejercicio.... Iniciar con la forma de s de p para la XOR para obtener una forma canónica de producto de sumas Sumar xx¡ y yy’, y emplear despuès la ley distributiva: (x+y)(x’+y’)

Operaciones NAND, NOR y XNOR (xy)’=x’+y’ NOR (x+y)’ = x’y’ XNOR (xÅy)’=(x’y+xy’)’=xy+x’y’

Equivalencia... XNOR es 1 siempre que x e y tiene el mismo valor La funciòn de dos variables que es igual a 1, siempre que las dos variables tiene el mismo valor, recibe el nombre de relación de equivalencia A XNOR B = A Û B = xy + x’y’ Comparar dos señales (entradas) para ver si son las mismas, es importante en sistemas digitales La compuerta XNOR es un comparador de un bit Cuando su salida es 1 sabemos que las dos entradas son iguales.

Conjunto de Operaciones Universales Toda expresión de conmutación está integrada por variables conectadas mediante diversas combinaciones de los operadores binarios (AND y OR) y unaria (NOT) Un conjunto de operaciones se denomina universal si toda función de conmutación puede expresarse exclusivamente en términos de operaciones de este conjunto Por tanto, el conjunto de operaciones (AND, OR, NOT) es universal

Representación de funciones Cualquier función de conmutación puede expresarse en términos de sólo dos operaciones de conmutación Cualquier función de conmutación puede expresarse exclusivamente en términos de operaciones NAND Cualquier función de conmutación puede expresarse exclusivamente en términos de operaciones NOR

Aplicación real... En el mundo real, las operaciones de conmutación se llevan a cabo por medio de dispositivos físicos Si es posible expresar todas las funciones de conmutación en términos de una sola operación... La implementación física de cualquier función de conmutación puede efectuarse con sólo un tipo de dispositivo físico

Compuertas lógicas Compuerta es el nombre genérico dado a un dispositivo físico que efectúa cualesquiera de las operaciones de conmutación