Apuntes de Matemáticas 3º ESO Tema 5 * 3º ESO Ecuaciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Resolución de ecuaciones Tema 5.2 * 3º ESO Resolución de ecuaciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 1. Si hay denominadores se halla el mcm y se eliminan éstos. 2. Si hay paréntesis se suprime aplicando la propiedad distributiva. Si delante de un paréntesis hay el signo “-” se cambia todo de signo. 3. Se traspasan los términos literales a un lado de la igualdad y los términos constantes al otro. (Se aplica la Regla de la Suma). 4.- Se reducen términos semejantes. 5. Se despeja la incógnita. (Se aplica la Regla del Producto). NOTA: Es muy importante el ORDEN en el proceso a seguir. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO REGLA DE LA SUMA PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos miembros la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta Ejemplo: x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a Numéricamente: x – 3 = 7  x – 3 + 3 = 7 + 3  x = 7 + 3 x + a = b  x + a – a = b – a  x = b – a x + 3 = 7  x + 3 – 3 = 7 – 3  x = 7 – 3 En la práctica se puede resumir así: Lo que sume/reste en un miembro de la igualdad puede pasar restando/sumando al otro miembro. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLOS RESUELTOS 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – 2 + 2 = 5 + 2  x = 7 O sea, el 2 que estaba restando a la incógnita, pasa al otro lado sumando. 2. Resolver la ecuación: x + 3 = 7 Restamos 3 a ambos lados, quedando: x + 3 – 3 = 7 – 3  x = 4 O sea, el 3 que estaba sumando a la incógnita, pasa al otro lado restando. 3. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5 x – 2 + 2 = x + 5 + 2  x = x + 7 Restamos x a ambos lados, quedando: x – x = x + 7 – x  0 = 7  Esta igualdad es FALSA  La ecuación es INCOMPATIBLE @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLOS RESUELTOS 4. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – 2 + 2 = x - 2 + 2  x = x  Nos ha dado una IDENTIDAD. Siempre se cumplirá la igualdad, luego hay … INFINITAS SOLUCIONES 5. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 6 + x Restamos x a ambos lados quedando: 2.x – 2 – x = 6 + x – x  x – 2 = 6 x – 2 + 2 = 6 + 2  x = 8 x = 8 es una ecuación equivalente a la dada. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO REGLA DEL PRODUCTO SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Si en una igualdad multiplicamos (o dividimos) a ambos miembros por la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta Ejemplo: x x a.x --- = b  a. --- = a. b  ------ = a.b  x = a.b a a a Numéricamente: x x 3.x --- = 4  3. --- = 3. 4  ------ = 3.4  x = 12 3 3 3 En la práctica se puede resumir así: Lo que multiplique/divida en un miembro de la igualdad puede pasar dividiendo/multiplicando al otro miembro. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO REGLA DEL PRODUCTO Ejemplo: a.x b a.x = b  -------- = ----  x = b / a a a Numéricamente: 3.x 9 3.x = 9  -------- = ----  x = 9 / 3 = 3 3 3 Importante: Si al despejar la incógnita, x, no queda un valor entero, se simplifica y se queda como fracción irreducible, salvo que sea decimal exacto. x = 2 Bien x = 3 / 2 = 1,5 Bien x = 2 / 3 = 0,6666 Incorrecto, pues nunca puede ser exacto. x = 2 / 3 Bien @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLOS RESUELTOS 6. Resolver la ecuación: 2.x = 6 Dividimos por 2 a ambos lados, quedando: 2.x / 2 = 6 / 2  x = 3 O sea, el 2 que estaba multiplicando a la incógnita pasa al otro lado dividiendo. 7. Resolver la ecuación: x / 3 = 5 Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: x 3.x 3.---- = 3.5  ---------- = 15  x = 15 3 3 O sea, el 3 que estaba dividiendo a la incógnita pasa al otro lado multiplicando. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 5.x + 4 Las x deben quedar todas a un mismo lado. ¿Dónde?. Mejor donde queden positivas. – 2 – 4 = 5.x – 2.x  – 6 = 3.x  – 6 / 3 = x – 2 = x 9. Resolver la ecuación: ( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6 Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: 2.x 3.[------- – 2] = 3.( x – 6)  Propiedad distributiva del producto 3 Queda: 2.x – 6 = 3.x – 18 – 6 + 18 = 3.x – 2.x  12 = x @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10 Resolver la ecuación: 2 - (3.x / 2) = x – 6 Multiplicamos ambos lados por 2, quedando: 3.x 2.[2 - ---------)] = 2.(x – 6)  4 – 3.x = 2.x - 12 2 Sumamos 3.x a ambos lados, quedando: 4 – 3.x + 3.x = 2.x - 12 + 3.x  4 = 5.x – 12 Sumamos 12 a ambos lados, quedando: 4 + 12 = 5.x - 12 + 12  16 = 5.x Dividimos por 5 a ambos lados, quedando: 16 5.x ---- = --------  16 / 5 = x  x = 3,20 5 5 La expresión decimal con dos cifras decimales. Si la fracción resultante no es decimal exacto, se deja en fracción. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Paréntesis y fracciones EJEMPLO_1 Resolver la ecuación: 7 – (x – 2) = x + 5 Paréntesis: 7 – x + 2 = x + 5 Trasponer términos: – x – x = 5 – 7 – 2 Reducir términos semejantes: – 2.x = – 4 Despejar: x = – 4 / (– 2) x = 2 EJEMPLO_2 Resolver la ecuación: 7 – 3.(x – 2) = 2.(x + 5) – 4 Paréntesis: 7 – 3.x + 6 = 2.x + 10 – 4 Trasponer términos: – 3.x – 2.x = 10 – 4 – 7 – 6 Reducir términos semejantes: – 5.x = – 7 Despejar: x = – 7 / (– 5) x = 7 / 5 = 1,40 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_3 Resolver la ecuación: 3 + 4.(3 – 2.x) = x + 5.(1 – 3x) Paréntesis: 3 + 12 – 8.x = x + 5 – 15.x Trasponer términos: – 8.x – x + 15.x = 5 – 3 – 12 Reducir términos semejantes: 6.x = – 10 Despejar: x = – 10 / 6 x = – 5 / 3 EJEMPLO_4 Resolver la ecuación: (x / 3) = x – [(x – 1) / 4] Denominadores: mcm(3,4)=12 4.x / 12 = (12.x / 12) – 3.(x – 1) / 12 4.x = 12.x – 3.(x – 1) Paréntesis: 4.x = 12.x – 3.x + 3 Trasponer términos: 4.x – 12.x + 3.x = 3 Reducir términos semejantes: – 5.x = 3 Despejar: x = 3 / (– 5)  x = – 3/5 = – 0’6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_5 Resolver la ecuación: x 2.x – 3 2 – x --- – ---------- = ------- 3 4 6 Denominadores: m.c.m. (3,4, 6) = 12 4.x 3.(2.x – 3) 2.(2 – x ) ----- – -------------- = ------------- 12 12 12 4.x – 3.(2.x – 3) = 2.(2 – x) Paréntesis: 4.x – 6.x + 9 = 4 – 2.x Trasponer términos: 4.x – 6.x + 2.x = 4 – 9 Reducir términos semejantes: 0 = – 5 Despejar: No se puede despejar x. Además la última igualdad es falsa. No hay solución. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_3 Resolver la ecuación: x 2x – 3 x --- – x + 1 = --------- – 2.---- 4 6 9 Denominadores: m.c.m. (4, 6, 9) = 36 9.x 36.(x – 1) 6.(2x – 3) 4.2.x ----- – ------------- = -------------- – -------- 36 36 36 36 9.x – 36.(x – 1) = 6.(2x – 3) – 4.2.x Paréntesis: 9.x – 36.x + 36 = 12.x – 18 – 8.x Trasponer términos: 9.x – 36.x – 12.x + 8.x = – 18 – 36 Reducir términos semejantes: – 31.x = – 54 Despejar: x = – 54 / (– 31) x = 54/31 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO