EXPRESIONES ALGEBRAICAS TEMA 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I REGLA DE RUFFINI TEMA 3.5 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Regla de Ruffini Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x – a), siendo a un número, la división de puede realizar de una forma más rápida y precisa: 1.‑ Se reduce el dividendo. 2.‑ Se ordena el dividendo forma decreciente. 3.‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros. 4.‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluidos los ceros. 5.- Se coloca a la izquierda el valor del número a. 6.- Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini. 7.‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división. 8.- Se puede comprobar el resultado, pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x).c(x) + r(x). @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 1 Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3 1 4 0 - 5 + 3 3 21 63 1 7 21 58 C(x) = 1.x2 + 7.x + 21 R(x) = 58 Podemos comprobar la división: (x3 + 4.x2 - 5) = (x - 3).(x2 + 7.x + 21) + 58 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5 1 4 0 - 5 + - 5 - 5 5 - 25 1 - 1 5 - 30 C(x) = 1.x2 - 1.x + 5 R(x) = - 30 Podemos comprobar la división: (x3 + 4.x2 - 5) = (x + 5 ).(x2 - x + 5) + (- 30) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 3 Sea ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2 4 0 5 - 3 + - 2 - 8 16 - 42 4 - 8 21 - 45 C(x) = 4.x2 - 8.x + 21 R(x) = - 45 Podemos comprobar la división: ( 4.x3 + 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x2 - 8.x + 21) + (- 45) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 4 Sea ( x3 + 5.x - 3 ) : ( 2.x – 1) Como el divisor no es de la forma (x – a) se divide todo entre 2: Queda ( 0,50.x3 + 2,50.x – 1,5 ) : ( x – 0,50) 0,50 0 2,50 - 1,50 + 0,50 0,25 0,125 1,3125 0,50 0,25 2,625 - 0,1875 C(x) = 0,50.x2 - 0,25.x + 2,625 R(x) = - 0,1875 El verdadero resto es: R(x) = 2.(-0,12875)= - 0,2575 Podemos comprobar la división: D(x) = d(x).C(x) + R(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 4 Sea ( 2.x2 + 5.x - 3 ) : ( 3.x + 1) Como el divisor no es de la forma (x – a) se divide todo entre 3: Queda ( 2/3.x3 + 5/3.x – 1) : ( x + 1/3) 2/3 5/3 – 1 + – 1/3 – 2/9 – 13/27 2/3 13/9 – 40/27 C(x) = 2/3.x + 13/9 R(x) = - 40/27 El verdadero resto es: R(x) = 3.(-40/27)= - 40 / 9 Como los decimales no son exactos se deja en fracción. Podemos comprobar la división: D(x) = d(x).C(x) + R(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Método escalonado de Ruffini 1 - 3 3 - 1 + 1 1 - 2 1 1 - 2 1 0 1 1 - 1 1 - 1 0 1 1 1 0 Si el resto de la división de P(x) entre (x – a) es cero, entonces a es una raíz del polinomio P(x). Podemos encontrar las restantes raíces siguiendo aplicando la Regla de Ruffini. Sea P(x) = x3 - 3 x2 + 3.x - 1 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1} , o sea los divisores de 1. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Método escalonado de Ruffini 1 3 0 - 4 + 1 1 4 4 1 4 4 0 - 2 - 2 - 4 1 2 0 - 2 - 2 1 0 Sea P(x) = x3 + 3. x2 - 4 Tenemos que resolver la ecuación: x3 + 3 x2 - 4 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, - 2, 4, - 4} , o sea los divisores de 4. Aplicamos el método de Ruffini sin recurrir al Teorema del Resto, o tras encontrar una raíz mediante sustitución. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

TEOREMA DEL RESTO Y TEOREMA DEL FACTOR TEMA 3.6 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I TEOREMA DEL RESTO Recordemos que RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero. Cumplen la ecuación: P(x)=0 TEOREMA DEL RESTO El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a) , es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el valor de a. Si el binomio es de la forma (x + a) , sustituiremos la x por ‑ a. Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que es una raíz del polinomio. Si un polinomio es de grado n , tendrá como máximo n raíces reales. Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4 , … raíces reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO_1 Ya hemos visto al hacer la división: ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ), que el resto es 58 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(3)= 33 + 4.32 - 5 = 27 + 36 – 5 = 58 EJEMPLO_2 ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30 P(a)=P(-5)= (-5)3 + 4.(-5)2 - 5 = -125 + 100 – 5 = - 30 EJEMPLO_3 ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45 P(a)=P(-2)= 4.(-2)3 + 5.(-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Sea P(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Donde a, b, c y d son números enteros. Se debe cumplir, si r es una raíz de P(x): a.r3 + b.r2 + c.r + d = 0 r.(a.r2 + b.r + c) = - d Vemos que r es un factor de – d O sea, que r es un divisor entero de d. Para hallar las raíces de un polinomio de grado igual o superior a 3, o sea las soluciones de la ecuación P(x)=0, lo primero será comprobar las posibles soluciones enteras o divisores enteros del término independiente. Si el polinomio P(x) no presenta término independiente, x=0 será una raíz o solución de la ecuación P(x) = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO Sea P(x) = x3 + 2.x2 - 5.x - 6 Tenemos que resolver la ecuación: x3 + 2.x2 - 5.x - 6 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6} , o sea los divisores de 6. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: P(1) = 13 + 2.12 – 5.1 – 6 = – 8 <> 0  No es raíz x =1 P(-1) = (-1)3 + 2.(-1)2 - 5.(-1) – 6 = 0  x = -1 es una raíz. P(2) = 23 + 2.22 - 5.2 – 6 = 0  x = 2 es otra raíz. P(-2) = (-2)3 + 2.(-2)2 - 5.(-2) – 6 = 4 <> 0  No es raíz P(3) = 33 + 2.32 - 5.3 – 6 = 24 <> 0  No es raíz x = 3 P(-3) = (-3)3 + 2.(-3)2 - 5.(-3) – 6 = 0  x = -3 es otra raíz Las soluciones o raíces son: x = -1 , x = 2 y x = -3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I OTRO EJEMPLO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO Sea P(x) = x3 + x2 + 4.x + 4 Tenemos que resolver la ecuación: x3 + x2 + 4.x + 4 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, -2, 4, - 4} , o sea los divisores de 4. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: P(1) = 13 + 12 + 4.1 + 4 = 10 <> 0  No es raíz x = 1 P(-1) = (-1)3 + (-1)2 + 4.(-1) + 4 = 0  x = -1 es una raíz. P(2) = 23 + 22 + 4.2 + 4 = 24 <> 0  No es raíz x = 2 P(-2) = (-2)3 + (-2)2 + 4.(-2) + 4 = – 8 <> 0  No es raíz x = - 2 P(4) = 43 + 42 + 4.4 + 4 = 100 <> 0  No es raíz x = 4 P(-4) = (-4)3 + (-4)2 + 4.(-4) + 4 = - 60 <>0  No es raíz x = - 4 La única raíz real entera es x = -1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I TEOREMA DEL FACTOR RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero. Cumplen la ecuación: P(x)=0 Por el Teorema del Resto, si a es una raíz, entonces P(a) = 0 TEOREMA DEL FACTOR Si el resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a) es 0, entonces la división es exacta y a es una raíz del polinomio. Se cumple que: P(x) = (x – a).C(x) Siendo C(x) el cociente que nos haya dado la división. (x – a) será un factor de P(x). P(x) se podrá entonces factorizar, convertir en un producto de polinomios. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I