Clase 175 y Tangente a una circunferencia P2 r O x P1
Ecuación de la circunferencia y (x – h)2+( y – k)2 = r2 r k O r h x x2 + y2 = r2
1. Hallar la ecuación de la tangente en un punto de tangencia dado. En la determinación de la recta tangente a una circunferencia podemos determinar tres casos: 1. Hallar la ecuación de la tangente en un punto de tangencia dado. 2. Hallar la ecuación de la tangente que tiene una pendiente dada. 3. Hallar la ecuación de la tangente que pasa por un punto exterior dado.
Ejercicio 1 Halla la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 = 5 en el punto (2;1)
x2 + y2 = 5 ; (2;1) Pendiente del radio en el punto (2;1) y1 – y0 x1 – x0 mr = 1 – 0 2 – 0 = 1 2 = como la tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia , sus pendientes son opuestas y recíprocas por tanto mt= – 2
Ecuación de la tangente y – y0 x – x0 mt = y – 1 x – 2 –2 = –2(x – 2) = y – 1 –2 x + 4 = y – 1 y = – 2x + 5
Ejercicio 2 Halla la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + (y – 3)2 = 4 trazada desde el punto A(0;7)
x2 + (y – 3)2 = 4 ; A(0;7) Ecuación de la tangente: Sustituyendo en la ecuación de la circunferencia tenemos: y – yA x – xA m = y – 7 x m = x2 + (mx + 4)2 = 4 mx = y – 7 y = mx + 7
x2 + (mx + 4)2 = 4 x2 + m2x2 + 8mx + 16 = 4 (m2 + 1)x2 + 8mx + 16 = 4 (m2 + 1)x2 + 8mx + 12 = 0 D = b2 – 4ac = (8m)2 – 4(m2+1)(12) = 64m2 – 48(m2 + 1) = 64m2 – 48m2 – 48 = 16m2 – 48
La ecuación tiene una única solución si el discriminante es cero luego: D = 16m2 – 48 = 0 16m2 = 48 48 16 m2 = Se pueden trazar dos tangentes y son: m2 = 3 y = 3 x + 7 y m = ± 3 y = – 3 x + 7
Para el estudio individual Halla la ecuación de la recta tangente a la circunferencia (x – 5)2 + (y + 1)2 = 8 y que tiene pendiente 1. Resp: y = x – 2 ó y = x – 10