@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 CALCULO PROBABILIDADES EN LA BINOMIAL Bloque IV * Tema 174

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Muchos experimentos sociales quedan determinados por dos sucesos contrarios: Hombre o mujer; mayor de 18 años o menor de 18 años; trabajador o en paro; etc. La distribución de probabilidad discreta que estudia estos experimentos recibe el nombre de distribución binomial. En general, a estos dos sucesos contrarios los calificamos por éxito (E) y fracaso (F). Esta distribución queda caracterizada por: (1)El resultado de una prueba del experimento aleatorio debe concretarse en dos únicas opciones que, como se ha dicho, llamaremos éxito (E) y fracaso (F). (2)Se realizan n ensayos del experimento, independientes unos de otros. (3)La probabilidad de éxito es constante a lo largo de las n pruebas y suele denotarse por p. P(E) = p Por tanto, la probabilidad de fracaso también es constante e igual a 1-p = q. P(F) = q = 1 – P(E) = 1 – p (4)La variable aleatoria X cuenta el número r de éxitos en las n pruebas: r = 0, 1, 2,..., n Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2,..., ni. Tal variable binomial queda caracterizada por los parámetros n y p, y se escribe B(n, p)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 Probabilidad de r éxitos Para conocer completamente la distribución de la variable binomial X = B(n, p), debemos encontrar la probabilidad de r éxitos: P(X = r) = pr, r = 0, 1,..., n. (1)Si n = 1, los éxitos o son 0 o son 1: P(X = 1)= P(E) = p P(X = 0)= P(F) = q ( 2)Si n = 2, los éxitos pueden ser 0, 1 y 2 : P(X = 2) = P(EE) = p.p = p2 P(X = 1) = P(EF + FE) = pq + qp = 2.pq P(X = 0) = P(FF) = q.q = q2 (3)Si n = 3, se tiene: P(X = 3) = P(EEE) = p.p.p = p3 P(X = 2) = P(EEF + EFE + FEE) = ppq + pqp + qpp = 3 p2q P(X = 1) = P(EFF + FEF + FFE) = p qq + qpq + qqp = 3 pq2 P(X = 0) = P(FFF) = q q. q = q3

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 Probabilidad de r éxitos (4)Si n = 4, se tiene: P(X = 4) = P(EEEE) = p.p.p.p = p4 P(X = 3) = P(EEEF + EEFE + EFEE + FEEE) = 4. p3q P(X = 2) = P(EEFF + EFEF + EFFE + FEFE + FEEF + FFEE) = 6p2q2 P(X = 1) = P(EFFF + FEFF + FFEF + FFFE) = 4pq3 P(X = 0) = P(FFFF) = q.q.q.q = q4 El exponente de p nos indica el número de éxitos y el exponente de q el de los consiguientes fracasos en n pruebas. Además, el coeficiente de cualquier monomio podemos deducirlo mediante el triángulo de Tartaglia o aplicando el Binomio de Newton. Se observa una simetría de las probabilidades en esta distribución, tanto en los coeficientes, k, como en las potencias de p, r, y de q, n-r.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Probabilidad de r éxitos (5)Teniendo en cuenta lo anterior, para el caso n = 5 P(X = 5) = p5 P(X = 4) = 5. p4q P(X = 3) = 10. p3q2 P(X = 2) = 10. p2q3 P(X = 1) = 5. pq4 P(X = 0) = q5 En general: r n-r P(X = r)= k.p. q Para valores de n superiores a 5 se utiliza la Tabla de la Binomial, o se calcula el parámetro k sabiendo que es un número combinatorio. k = C = n! / r!. (n-r)! n, r

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 Ejemplo Lanzamos una moneda al aire 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 caras? RESOLUCIÓN: n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces r=7, pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. p=0,5, que es la probabilidad de éxito ( salir cara ). Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r P(X = r)= k.p. q P(x =7) = k. (1/2). (1 – ½) P(x =7) = C. (1/2). (1 – ½) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,5. 0,5 = 20 = , = 0,074

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 Otro Ejemplo Lanzamos un dado al aire 20 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 seises? RESOLUCIÓN: n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces r=7, pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. p=0,167, pues la probabilidad de éxito ( salir un seis ) es p = 1/6 = 0,167 Luego, aplicando la fórmula obtenida: r n-r P(X = r)= k.p. q P(x =7) = k. (1/6). (1 – 1/6) P(x =7) = C. (1/6). (5/6) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,167. 0,833 = 20 = , = 0,026

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 MEDIDAS ESTADÍSTICAS de una distribución binomial MEDIA μ = n.p En nuestros ejemplos: μ = n.p = 20.0,5 = 10 para la moneda μ = n.p = 20.0,167 = 3,34 para el dado DESVIACIÓN TÍPICA σ = √(n.p.q) σ = √(n.p.q) = √ 20.0,5.0,5 = √5 = 2,24 para la moneda σ = √(n.p.q) = √ 20.0,167.0,833 = √2,77 = 1,67 para el dado