Rosy Marcela Palomino Martínez Iván de Jesús Sánchez Piedrahíta Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas aplicando la Regla De Cramer Autores: Rosy Marcela Palomino Martínez Iván de Jesús Sánchez Piedrahíta

La Regla de Cramer es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes. Ejemplo: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4

Paso 1: Hallar la determinante del sistema la cual denominaremos Para resolver un sistema utilizando la Regla de Cramer: Paso 1: Hallar la determinante del sistema la cual denominaremos Una determinante es una expresión numérica en la que se toman los coeficientes de x, y y de z, las cuales se escriben dentro de dos barras de la siguiente manera:

De esta manera la determinante del sistema nos quedaría así: 2 3 4 = 2 6 8 4 9 -4 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 Vemos que los números dentro de las barras son los coeficientes correspondientes a x, y y z. Esta expresión es una determinante de tercer orden porque tiene tres filas y tres columnas.

Paso 2 : Resolver la determinante del sistema ( ) El valor de una determinante de tercer orden se halla aplicando la Regla de Sarrus. 2 3 4 = 2 6 8 4 9 -4 2 3 4 2 6 8 Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales.

Diagonales Principales Diagonales Secundarias Se multiplican entre si los tres números por que pasan las diagonales principales y secundarias 2 3 4 = 2 6 8 4 9 -4 2 3 4 2 6 8 2 3 4 = 2 6 8 4 9 -4 2 3 4 2 6 8 Diagonales Principales Diagonales Secundarias

Se multiplican los términos de las diagonales principales. 2 3 4 = 2 6 8 = - 48 + 72 + 96 4 9 -4 2 3 4 2 6 8 Los productos de los números que hay en las diagonales principales se escriben con su propio signo.

Se multiplican los términos de las diagonales secundarias. 2 3 4 = 2 6 8 = - 48+72+96-96-144+24 4 9 -4 2 3 4 2 6 8 Los productos de los números que hay en las diagonales secundarias se escriben con el signo cambiado.

Finalmente se efectúa la operación correspondiente. 2 3 4 = 2 6 8 = - 48+72+96-96-144+24 4 9 -4 2 3 4 2 6 8 24 -120 -96 Siendo éste el valor de la determinante de todo el sistema.

Paso 3 : Hallar la determinante de x la cual denominaremos La determinante de x equivale a colocar en la columna de los coeficientes de x los términos independientes de las ecuaciones. Paso 3 : Hallar la determinante de x la cual denominaremos

De esta manera nos quedaría así: 3 3 4 = 5 6 8 4 9 -4 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 En este caso los coeficientes de x fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

Paso 4 : Resolver 3 3 4 = 5 6 8 = - 72 + 180 + 96 4 9 -4 3 3 4 5 6 8 Se multiplican los términos de las diagonales principales.

3 3 4 = 5 6 8 = -72+180+96-96-216+60 4 9 -4 3 3 4 5 6 8 Luego se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.

3 3 4 = 5 6 8 = -72+180+96-96-216+60 4 9 -4 3 3 4 5 6 8 108 - 156 - 48 Se realiza la operación la cual dio como resultado -48 que será el valor de la determinante de x.

Paso 5 : Hallar la determinante de y la cual denominaremos La determinante de y equivale a colocar en la columna de los coeficientes de y los términos independientes de las ecuaciones. Paso 5 : Hallar la determinante de y la cual denominaremos

De esta manera nos quedaría así: 2 3 4 = 2 5 8 4 4 -4 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 Aquí los coeficientes de y fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

Paso 6 : Resolver 2 3 4 = 2 5 8 = - 40 + 32 + 96 4 4 -4 2 3 4 2 5 8 Se multiplican los términos de las diagonales principales.

2 3 4 = 2 5 8 = - 40+32+96-80-64+24 4 4 -4 2 3 4 2 5 8 Se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.

2 3 4 = 2 5 8 = - 40+32+96-80-64+24 4 4 -4 2 3 4 2 5 8 - 8 +16 - 40 8 - 40 - 32 Se realiza la operación la cual dio como resultado – 32 el cual será el valor de la determinante de y.

Paso 7: Hallar la determinante de z la cual denominaremos La determinante de z equivale a colocar en la columna de los coeficientes de z los términos independientes de las ecuaciones. Paso 7: Hallar la determinante de z la cual denominaremos

De esta manera nos quedaría así: 2 3 3 = 2 6 5 4 9 4 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 Aquí los coeficientes de z fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

Paso 8 : Resolver 2 3 3 = 2 6 5 = 48 + 54 + 60 4 9 4 2 3 3 2 6 5 Se multiplican los términos de las diagonales principales.

2 3 3 = 2 6 5 = 48+54+60-72-90-24 4 9 4 2 3 3 2 6 5 Se multiplican los términos de las diagonales secundarias y al resultado se le cambia el signo.

2 3 3 = 2 6 5 = 48+54+60-72-90-24 4 9 4 2 3 3 2 6 5 102 -12 - 114 102 - 126 - 24 Se realiza la operación la cual dio como resultado –24 el cual será el valor de la determinante de z.

Paso 9: Hallar el valor de x. El valor de x se obtiene dividendo el valor de la determinante de x ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ). Es decir

De esta manera = = Siendo éste el valor de x. Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.

Paso 10: Hallar el valor de y. El valor de y se obtiene dividendo el valor de la determinante de y ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ). Es decir

De esta manera = = Siendo éste el valor de y. Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.

Paso 11: Hallar el valor de z. El valor de z se obtiene dividendo el valor de la determinante de z ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ). Es decir

De esta manera = = Siendo éste el valor de z. Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se simplifican los términos.

Paso 12: Reemplazar los valores de x,y y z en la primera ecuación del sistema. 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 2( )+3( )+4( ) 1 + 1 + 1 = 3 Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

Paso 13: Reemplazar los valores de x,y y z en la segunda ecuación del sistema. 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 2( )+6( )+8( ) 1 + 2 + 2 = 5 Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

Paso 14: Reemplazar los valores de x,y y z en la tercera ecuación del sistema. 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 4( )+9( )-4( ) 2 + 3 - 1= 4 Luego de reemplazar los valores de x,y y z resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

Por lo tanto para el sistema La solución es: Luego de comprobar vemos que los valores hallados para x, y y z satisfacen todas las ecuaciones Por lo tanto para el sistema La solución es: 2x + 3y + 4z = 3 2x + 6y + 8z = 5 4x + 9y – 4z = 4 x = y = z =