MUSICA: La organización coherente de los sonidos y los silencios (según una forma de percepción) nos da los parámetros fundamentales de la música, que son la melodía, la armonía y el ritmo. [wikipedia] Podríamos agregar otros como Tono,Textura, Timbre, Forma Musical, Instrumentación, etc. Veamos algunas relaciones matemáticas que podemos encontrar estudiando estos 3 parámetros:

(escala igualmente temperada) MATEMATICAS MUSICA PARAMETRO MUSICAL 1)FRACCIONES, multiplicación / División RITMO 2) CONJUNTOS y SUBCONJUNTOS Interaccion de Escalas ARMONÍA 3) FRACCIONES (Escala Pitagorica) Intervalos musicales MELODÍA RAICES (escala igualmente temperada)

1) FRACCIONES / RITMO La notación Musical guarda una relación directa con las fracciones: 2/4, ¾, 4/4, 6/8,/7/8, etc. Cada nota, en la notación músical es una fracción de un tiempo, y cada tiempo es una fracción de un compás. Así una negra en una canción de 4/4 dura 1/4 de la duración de cada tiempo, de los cuales hay 4 por cada compás. Una corchea dura 1/8, una semicorchea 1/16, etc

2) CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS/ NOTAS Y ESCALAS, ARMONIA 2 notas son llamadas INTERVALO 3 o más notas son llamadas ACORDE Una escala mayor se construye por los intervalos: T T S T T T S

Si consideramos las escalas de C, D, G, B, utilizaríamos las siguientes notas C: do - re - mi - fa - sol - la - si - do D: re - mi - fa# - sol - la - si - do# G: sol – la – si - do - re - mi - fa# - sol SI: si - do# - re# - mi - fa# -sol# - la# - si

El sistema axial [Bartok] Cada eje tiene dos extremos, polo y antípoda. Aunque el parentesco entre un polo y su antípoda es menos cercano que con los puntos vecinos, cada polo puede ser sustituido por su antípoda, realizando la misma función. Por tanto, se mantienen las funciones tradicionales de I, IV y V. Una sucesión MI-LA-RE-SOL-DO-FA, en Bartók puede ser MI-LA-LAb-REb-DO-FA.

3)FRACCIONES Y RAICES / INTERVALOS La octava es un intervalo común en todas las escalas del mundo. Muchas personas incluso no son capaces de distinguir dos notas con una octava de diferencia. El intervalo entre dos notas guarda directa relación con la proporción entre sus frecuencias. Hay proporciones simples, razones perfectas expresadas en la SERIE ARMONICA, la escala pitagorica, justa, entre otras. Hay numeros irracionales, utilizados en la ESCALA IGUALMENTE TEMPERADA

3.1 FRACCIONES: INTERVALOS SERIES ARMONICAS Se pueden usar series armónicas para encontrar razones (proporciones) para “intervalos puros”. Por ejemplo los armónicos 2 y 3 forman una 5ta justa de distancia, así que la razón de una 5ta justa es 2:3 Armónicos 4 y 5 están a una 3era mayor de distancia, así que la razón de una 3era mayor es 4:5. Armónicos 4 y 1 están 2 octavas aparte, así que la razón de sus frecuencias es 4:1

Si tomas una botella con agua que da la nota SOL, y tomas la suficiente agua como para dejar el doble de aire en la botella, al soplar dará la misma nota Sol, una octava más baja. Si tomas una cuerda y la acortas en la mitad, escucharas la misma nota una octava más arriba. En esencia, la octava es una forma de escuchar el numero 2. EL NUMERO 3 Si acortas una cuerda en 1/3 de su largo, se escuchará la segunda nota fundamental en la música: La 5ta de la nota original. (Esto equivale a multiplicar el largo por 3/2) Se dice que para lograr afinar utilizando solamente el oído, sólo se puede confiar 100% en estas dos relaciones, la de la 8va y la 5ta. Los violines se afinan por 5tas. Las armonías más primitivas sólo usaban 8vas y 5tas.

EJERCICIO 1: Dadas 3 notas con frecuencias 220Hz , 440 Hz, y 660 Hz. 1)Cual nota suena más aguda, y cual suena más grave? 2)Cual tiene la longitud de onda mas larga y cual la más corta? 3)Cual es la razón entre sus frecuencias 4)Cuantas ondas de la frecuencia 660 hay por cada una de las de 220?

La razón de las frecuencias de una 5ta justa es 3:2. EJERCICIO 2 Encontrar la nota que está a una 5ta justa arriba o abajo de una determinada nota: La razón de las frecuencias de una 5ta justa es 3:2. El numero más alto en la fracción representa la nota más alta. Si queremos la 5ta justa hacia arriba de un LA 440, utilizamos la fraccion 3:2 Si queremos la 5ta justa abajo del LA utilizamos 2:3

Es importante poner bien los números en la fracción, ya que si · 2 es la frecuencia mas alta, debe serlo también en la fracción. Si deseas que #2 sea la frecuencia mas baja, entonces #2 debe ser el numero mas bajo en la fracción.Debes verificar que el resultado sea coherente, ya que una nota mas aguda siempre debe dar una mayor frecuencia.

IMPORTANTE! Si miramos detenidamente la serie armónica, nos daremos cuenta que algunos intervalos que debieran ser iguales, utilizan diferentes proporciones: Por ejemplo el intervalo entre los armónicos 7 y 8 es una 2nda Mayor, pero también lo es el intervalo entre el 8 y 9, 9 y 10, 10 y 11 Pero 7:8 no es igual que 8:9, ni 9:10, ni 10:11 La escala igualmente temperada soluciona este problema haciendo que todos los intervalos entre semitonos sean iguales. El aspecto positivo es que un instrumento estará igualmente afinado en cualquier tono. El aspecto negativo es que todos los intervalos excepto la octava estarán levemente desafinadas.

3.2 ESCALA IGUALMENTE TEMPERADA Intervalos puros que se encuentran en el mundo físico, como en el caso de las cuerdas o tubos son buenos ejemplos de proporciones como 3:2, pero las razones de la escala igualmente temperada están en proporcion de la doceava raiz de 2.

La escala igualmente temperada, hace que todas las notas estén igualmente levemente fuera de tono, y divide el error a través de todas las notas. Nuestros oidos, en rigor prefieren la escala Pitagórica. La escala pitagórica se basa en números racionales, mientras que el intervalo logrado en nuestra escala occidental, se base en números irracionales: la diferencia en frecuencia entre un semitono y otro esta dado por la 12va raíz de 2 !

Supongamos que queremos comparar una 3era pura de la serie armonica con la de la escala igualmente temperada. Comparando las proporciones como numeros decimales, podemos ver que una 3era mayor armonica es un poco más pequeña que el mismo intervalo en la escala igualmente temperada.