CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD DE FUNCIONES DÍA 33 * 1º BAD CS

CONTINUIDAD GRÁFICA y=1 1 y=x+1 - 1 0 1 Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel. Ejemplo 0 Sea la función troceada: x+1 , si x ≤ 1 f(x) = 1 , si x > 1 A la izquierda de x=1 la función (en rojo) se puede dibujar de un solo trazo. Es continua. A la derecha de x=1 la función (en verde) se puede dibujar de un solo trazo. Es continua. Para x = 1  y = 2 (Punto negro). En x=1 la función rompe su continuidad, bajando bruscamente de y=2 a y=1. Decimos entonces que en x=1 presenta una discontinuidad. y=1 1 y=x+1 - 1 0 1

CONTINUIDAD GRÁFICA Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 y=ex y=x – x3 1 y=x+1 - 1 0 1 1 - 1 0 - 1 0 Función continua en R Función continua en R Función continua en R

CONTINUIDAD GRÁFICA Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel. Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 y=2 – x2 y=√(1 – x) y=log x 1 0 1 - 1 0 -3 -2 -1 0 1 Función continua en R Función continua en R+ F. continua en (-oo, 1]

CONTINUIDAD GRÁFICA 1 Ejemplo 7 Función continua en R, excepto en x=2 En x=2 hay una discontinuidad, pues la función no existe en dicho punto. x=2 no forma parte del dominio de la función. 2 x2 – 3.x + 2 y = --------------- x – 2 4 4 – x2 , si x<>1 y = 0 , si x=1 Ejemplo 8 Función continua en R, excepto en x=1 En x=1 hay una discontinuidad, pues en ese punto su valor es 0. x=1 forma parte del dominio de la función. -2 -1 0 1 2

CONTINUIDAD GRÁFICA 1 x + 1 , si x≤0 y = – x , si x>0 Ejemplo 10 Función continua en R, excepto en x=0 En x=0 la función existe y vale 1. Pero a la izquierda de 0 la función vale 1 (y=1) y a la derecha del 0 la función vale 0 (y=0). Hay una discontinuidad en x=0, un salto finito. x + 1 , si x≤0 y = – x , si x>0 Ejemplo 10 Función continua en R, excepto en x=0 En x=0 hay una discontinuidad, pues en ese punto no existe la función y a la izquierda del 0 su valor baja hasta – oo. x=0 no forma parte del dominio. -2 -1 0 1 2 x2 – 2 , si x<0 y = log x , si x>0

CONTINUIDAD DE FUNCIONES Una función y=f(x) se dice que es continua en un punto x=a, cuando se cumplen tres condiciones: 1) Existe la función en ese punto, existe f(a). Es decir, ‘a’ forma parte del dominio de la función. 2) Existe el límite de la función en dicho punto, lím f(x) xa Si la función en dicho punto está troceada, el límite por la derecha debe coincidir con el límite por la izquierda para que exista dicho límite. 3) El valor de la función en dicho punto coincide con el límite: f(a) = lím f(x)

TIPOS DE DISCONTINUIDADES Para estudiar la continuidad de una función hay que hacerlo en todo su dominio de definición. En aquellos puntos singulares del dominio o en aquellos puntos que no pertenezcan al dominio de la función, estudiaremos detenidamente la función y determinaremos el tipo de discontinuidad que pueda presentar. 1) EVITABLE , que es cuando no existe la función en dicho punto, pero sí el límite. 2) DE 1ª ESPECIE , cuando el valor de la función en dicho punto no coincide con el límite. 3) DE 2ª ESPECIE SALTO FINITO , cuando no existe el límite, al no coincidir el límite derecho con el izquierdo. 4) DE 2ª ESPECIE SALTO INFINITO , cuando uno de los límites derecho o izquierdo, o los dos, son más o menos infinito.

Ejemplo 1 x – 4 , si x < 2  Función lineal Sea f(x) = - 2 , si x ≥ 2  Función constante A la izquierda de x=2 ( función lineal ) es continua. A la derecha de x=2 ( función constante) es continua. Miramos si es continua en el punto x=2 1) f(2) = 2 – 4 = – 2 Es decir, x = 2 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 2 – 4 = -2 Lím f(x) = -2 x2- x2+ El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale - 2. 3) f(2) = lím f(x)  - 2 = - 2 x2 La función es también continua en x = 2. Es continua en R

Ejemplo 2 x2 – 9 , si x < 3  Función cuadrática Sea f(x) = x - 3 , si x > 3  Función lineal A la izquierda de x=3 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=3 ( función lineal) es continua. Miramos si es continua en el punto x=3 1) f(3) = NO existe. Es decir, x=3 no es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 32 – 9 = 0 Lím f(x) = 3 – 3 = 0 x3- x3+ El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale 0. 3) f(3) <> lím f(x) , al no existir f(3) x3 La función en x=3 presenta una DISCONTINUIDAD EVITABLE.

Ejemplo 3 x2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática Sea f(x) = ex , si x > 1  Función exponencial A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=1 ( función exponencial) es continua. Miramos si es continua en el punto x=1 1) f(1) = 12 – 2 = 1-2= -1 Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 12 – 2 = 1 – 2=- 1 Lím f(x) = e1 = e x1- x1+ El límite por la izquierda NO coincide con el límite por la derecha, luego NO existe límite. 3) No se puede cumplir al no existir límite. La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD de 2ª ESPECIE CON SALTO FINITO.

Ejemplo 4 x2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática Sea f(x) = ln (x – 1) , si x > 1  Función logarítmica A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=1 ( función logarítmica) es continua. Miramos si es continua en el punto x=1 1) f(1) = 12 – 2 = 1-2= -1 Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 12 – 2 = 1 – 2=- 1 Lím f(x) = ln (1 – 1) = ln 0+ = - oo x1- x1+ El límite por la izquierda NO coincide con el límite por la derecha, luego NO existe límite. 3) f(1) <> lím f(x) , al no existir límite. x1 La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD de 2ª ESPECIE CON SALTO INFINITO.

Ejemplo 5 Hallar el valor de k para que la función sea continua en todo R x2 – 2 , si x ≤ 2 Sea f(x) = x – k , si x > 2 A la izquierda de x=2 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=1 ( función lineal ) es continua. Miramos si es continua en el punto x=2 1) f(2) = 22 – 2 = 4-2= 2 Es decir, x=2 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 22 – 2 = 4 – 2 = 2 Lím f(x) = 2 - k x2- x2+ Para que exista el límite ambos límites laterales deben ser iguales: 2 = 2 – k  Luego, en este caso k debe ser 0. 3) Si k = 0 f(2) = lím f(x) , pues 2 = 2 x2 Si k = 0, la función también es continua en x=2, y por tanto en todo R.