@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 FUNCIONES Tema 6

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 PROPIEDADES GLOBALES Tema 6.5 * 1º BCS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 CONTINUIDAD Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo y=x+1 Función continua en R y=e x Función continua en R y=x – x 3 Función continua en R

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 1 0 Ejemplo 1 Función continua en R, excepto en x=0 En x=0 la función existe y vale 1. Pero a la izquierda de 0 la función vale 1 (y=1) y a la derecha del 0 la función vale 0 (y=0). Hay una discontinuidad en x=0, un salto finito. DISCONTINUIDAD x + 1, si x≤0 y = – x, si x>0 Ejemplo 2 Función continua en R, excepto en x=0 En x=0 hay una discontinuidad, pues en ese punto no existe la función y a la izquierda del 0 su valor baja hasta – oo. x=0 no forma parte del dominio x 2 – 2, si x<0 y = log x, si x>0

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 CORTE CON EL EJE, OY, DE ORDENADAS Sea la función y = f(x). Cortará al eje OY cuando se cumpla x = 0  y = f(0)  Pc(0, f(0)) CORTE CON EL EJE, OX, DE ABSCISAS Sea la función y = f(x). Cortará al eje OX cuando se cumpla y = 0  f(x) = 0  Pc(x1, 0), Pc(x2, 0), … EJEMPLO 1 Sea la función y = x 2 – x – 6. Corta al eje OY en x = 0  y = – 6  Pc(0, – 6) Corta al eje OX en y = 0  x 2 – x – 6 = 0  Pc( – 2, 0) y Pc(3, 0) EJEMPLO 2 Sea la función y = (2.x – 4) / (1 – x). Corta al eje OY en x = 0  y = – 4 / 1 = – 4  Pc(0, – 4) Corta al eje OX en y = 0  2.x – 4 = 0   x = 2  Pc( 2, 0) PUNTOS DE CORTE

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Sea la función y = f(x). Cortará al eje OX cuando se cumpla y = 0  f(x) = 0  Pc(x1, 0), Pc(x2, 0), … Los puntos de corte x1, x2, etc determinarán intervalos donde el signo de la función (positivo o negativo) será el mismo. Dichos intervalos serán: (-oo, x1), (x1, x2), …(xk, +oo) EJEMPLO Estudiar el signo de la función: f(x) = x 2 – x – 6. Corta al eje OX en y = 0  x 2 – x – 6 = 0  Pc( – 2, 0) y Pc(3, 0) Estudiemos los intervalos: En (-oo, -2)  f(-3) = = 6 > 0  Signo POSITIVO En (-2, 3)  f(0) = 0 – 0 – 6 = - 6 < 0  Signo NEGATIVO En (3, +oo)  f(5) = 25 – 5 – 6 = 14 > 0  Signo POSITIVO SIGNO DE UNA FUNCIÓN

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 EJEMPLO 2 Hallar los puntos de corte de la función y = (4 – x) / (3.x – 2) Con OY  x = 0  y = 4 /(– 2) = – 2  Pc (0, – 2) Con OX  y = 0  4 – x = 0  x = 4  Pc (4, 0) EJEMPLO 3 Hallar los puntos de corte de la función y = (x 2 – 3.x + 2) / (x – 3) Con OY  x = 0  y = 2 /(– 3) = – 2/3  Pc (0, – 2/3) Con OX  y = 0  x 2 – 3.x + 2 = 0   Resolviendo la ecuación x = 1, x = 2  Pc (1, 0) y Pc (2, 0) EJEMPLO 4 Hallar los puntos de corte de la función y = 8 – x 3 Con eje OY  x = 0  y = 8  Pc (0, 8) Con eje OX  y = 0  8 – x 3 = 0 Resolviendo la ecuación tendremos los tres puntos de corte; al menos uno. Por el Teorema del Resto: P(2) = 8 – 8 = 0  Pc (2, 0) Aplicando Ruffini al tener ya una raíz: – 2 – 4 – 8 – 1 – 2 – 4 0  C(x) = – x 2 – 2.x – 4 Resolviendo la ecuación de segundo grado: No hay raíces reales Luego sólo hay un punto de corte con el eje X: Pc (2, 0)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 FUNCIÓN CRECIENTE EN UN INTERVALO Una función y = f(x) decimos que es CRECIENTE en un intervalo [a, b] si tomados dos valores, x y x+h de dicho intervalo, tal que x < x+h se cumple: f (x) < f (x+h) O sea, si la variación es positiva: Al aumentar x aumenta f(x). FUNCIÓN DECRECIENTE EN UN INTERVALO Una función y = f(x) decimos que es CRECIENTE en un intervalo [a, b] si tomados dos valores, x y x+h de dicho intervalo, tal que x < x+h se cumple: f (x) > f (x+h) O sea, si la variación es negativa: Al aumentar x disminuye f(x). CRECIMIENTO

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Ejemplo mixto La función f(x) = x 2 es creciente y decreciente. Eso es verdad, pero no al mismo tiempo. Sean los valores x = - 3, h = <  f (- 3) > f (- 2)  (- 3) 2 > ( - 2) 2  9 > 4 Vemos que en un entorno de x = - 3 la función es decreciente. Sean los valores x = 3, h = 1 3 < 3+1  f ( 3) < f (4)  3 2 < 4 2  9 < 16 Vemos que en un entorno de x = 3 la función es creciente. Aumenta el valor de x x y = f(x) TABLA x y

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 MAXIMOS RELATIVOS.- Una función y = f(x) decimos que presenta un MÁXIMO RELATIVO en un punto x=a cuando, en un entorno reducido de a, se cumple: f (a - h) < f (a) > f (a + h) MINIMOS RELATIVOS.- Una función y = f(x) decimos que presenta un MÍNIMO RELATIVO en un punto x=b cuando, en un entorno reducido de b, se cumple: f (b - h) > f (b) < f (b + h) Nota: h es un incremento de x muy pequeño y siempre positivo (Δx>0) ab f (b) f (a) y=f (x) x MÁXIMOS Y MÍNIMOS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 CONCAVIDAD.- Una función es cóncava en un determinado punto si la tangente en él está por debajo de la gráfica de la función en ese punto. También decimos que es cóncava cuando, en un intervalo de valores de x, presenta la forma de un “valle”. CONVEXIDAD.- Una función es convexa en un determinado punto si la tangente en él está por encima de la gráfica de la función en ese punto. También decimos que es convexa cuando, en un intervalo de valores de x, presenta la forma de una “montaña”. CÓNCAVA CONVEXA

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 PUNTOS DE INFLEXIÓN. - Llamamos puntos de inflexión aquellos en que cambia la curvatura de una función de cóncava a convexa o viceversa. Ejemplo 1 La función f(x) = x 3 – 3.x presenta un PI en el O(0,0) Ejemplo 2 La función f(x) = – x x – 2 presenta un PI en el (0, - 2) PI O PI O x y x y Ejemplo 1 Ejemplo 2

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 PERIODICIDAD Una función y = f(x) decimos que es periódica cuando su forma y valores se repiten a intervalos iguales. La longitud del intervalo es lo que llamamos periodo, k. Si se cumple que f(x) = f(x + n.k), siendo n un número entero ( 1, 2, 3, … ), entonces la función es periódica y de periodo k. Ejemplos de funciones periódicas, con periodo t = 1 año, podían ser los consumos de agua, luz o gas en una vivienda, aunque sea de forma aproximada. No así lo que pagamos mes a mes por dicho consumo, al varias las tarifas casi todos los años. FUNCIONES PERIÓDICAS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 5mn 10 mn 5 mn 5 mn Ejemplo 1 La noria. 5mn 10 mn 5 mn 5 mn P = 25 mn En una atracción de feria la noria de detiene 5 minutos para coger pasajeros. Durante otros 10 minutos se velocidad va aumentando. Durante otros 5 su velocidad se mantiene alta Y por último durante otros 5 minutos su velocidad disminuye hasta pararse. Este proceso es periódico, pues se repite cada 25 minutos. El periodo es t = 25 mn

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I15 EJEMPLO_2 La electricidad La función senoidal, f(x) = sen x, nos da en todo momento el valor del seno de un ángulo. Es una de las funciones trigonométricas. Es la forma en la cual se transmite la electricidad. En este proceso la forma de onda se repite cada 360º. En Europa, España incluida, el periodo es de 1 / 50 = 0,020 segundos. En América, el periodo es de 1 / 60 = 0,016 segundos, razón por la que no conviene adquirir electrodomésticos americanos que no estén modificados. P = 0,02 s