Sesión 12.1 Álgebra de matrices

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Habilidades Determina el orden de una matriz, la igualdad entre dos matrices y la matriz identidad. Suma, multiplica por un escalar y multiplica matrices. Determina si dos matrices si dos matrices son inversas entre sí y determina la inversa de una matriz de orden 2x2 y 3x3. Determina cuando una matriz tiene inversa. Determina la determinante de una matriz de 2x2 y 3x3.

Consideraciones previas 1. La compañía Ruiz invierte un total de $30 000. Una parte al 6% y el resto al 9 %. Los dividendos anuales de las dos inversiones son iguales a los que ganaría todo el dinero si estuviera invertido al 7 %. Encontrar la cantidad invertida a cada tasa. x y 2. Determine las dimensiones de un jardín rectangular que tiene perímetro de 100 pies y área de 300 pies2.

Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado Clasificación de los SEL por los tipos de respuesta 3. Resuelva los siguientes sistemas x y 3 -2 x y x y Sistema compatible determinado Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado

Necesidad de la modelación usando SEL Se dispone de tres marcas de fertilizante que proporcionan los siguientes nutrientes: nitrógeno, ácido fosfórico y potasio. Una bolsa de la marca A proporciona 1 unidad de nitrógeno, 3 unidades de ácido fosfórico y 2 unidades de potasio. Una bolsa de la marca B proporciona 2 unidades de nitrógeno y 1 unidad de ácido fosfórico y Una bolsa de la marca C proporciona 3 unidades de nitrógeno, 2 de ácido fosfórico y 1 unidad de potasio. Para un crecimiento ideal, el suelo necesita 18 unidades de nitrógeno, 23 unidades de ácido fosfórico y 13 unidades de potasio por acre. Plantee un modelo matemático que permita determinar cuántas bolsas de cada marca de fertilizante deben usarse por acre para lograr un crecimiento ideal.

Matrices Una matriz es un arreglo rectangular de números n columnas m filas de m filas y n columnas de números reales y se lee matriz de m  n. El orden de la matriz es m  n. Si m = n, la matriz es cuadrada.

Ejemplos a) La matriz tiene orden 2 x 3. b) La matriz c) La matriz tiene orden 3 x 3.

Notación abreviada para la matriz También se usa la notación abreviada A = [aij] para esta matriz. El elemento aij está en la fila i y la columna j.

Ejemplo Determine la matriz A, si:

Suma y resta de matrices Sean A = [aij] y B = [bij], matrices de orden m  n La suma A + B es la matriz de m  n. A + B = [aij + bij] 2. La resta A - B es la matriz de m  n. A - B = [aij - bij]

kA = [kaij] Multiplicación de una matriz por un escalar y la matriz 0. El producto de un número real k y la matriz A = [aij] de orden m  n, es la matriz de orden m  n kA = [kaij] La matriz kA = [kaij] es un múltiplo escalar de A. La matriz 0 = [0] de orden m  n, contiene únicamente ceros, es la matriz cero. Si A = [aij], entonces: A + 0 = A

Ejemplo Sean A = [aij] y B = [bij], matrices de 2  2, con aij = 3i – j y bij = i2 + j2 – 3, para i = 1, 2 y j = 1, 2 Determine A y B. Determine el inverso aditivo, -A de A y verifique que A + (-A) = [0]. ¿Cuál es el orden de [0]? Determine 3A - 2B.

Multiplicación de matrices Sea A = [aij] una matriz de m  r y B = [bij] una matriz de r  n El producto AB = [cij] es la matriz m  n, donde j i

Multiplicación de matrices La manera de hallar el producto AB con A y B es: ¿Existe el producto BA?

Matriz identidad La matriz In de n  n, con unos en la diagonal principal y 0 en el resto de las entradas, es la matriz identidad de orden n  n. Diagonal principal Ejemplos,

Inversa de una matriz cuadrada Sea A = [aij] una matriz de orden n  n. Si existe una y matriz B tal que entonces B es la inversa de A. Escribimos B = A-1 (se lee “A inversa”)

Verificación de una matriz inversa 1. Pruebe que las matrices A y B son inversa, una de la otra 2. Pruebe que la matriz A es singular, es decir A no tiene inversa.

Inversa de una matriz 2  2 Si ad – bc ≠ 0, entonces El número ad – bc es el determinante de la matriz 2 x 2 se expresa Si entonces

Determinante de una matriz Sea A = [aij] una matriz de orden n  n (n > 2) El determinante de A, expresado como det A o |A| es la suma de las entradas de cualquier fila o cualquier columna multiplicada por sus respectivos cofactores Aij.

Determinante de una matriz Presentemos una matriz A =[aij] de 3  3. Se llama cofactor de aij, en este caso de a21 M21 Se llama menor o determinante menor de aij, en este caso de a21

Menores y cofactores Aij=(-1)i+jMij La manera de hallar los menores Mij es la siguiente: i j En general, los cofactores Aij se determinan así: i j Aij=(-1)i+jMij i j

Existencia de la inversa de una matriz Una matriz A de n  n, tiene una inversa sí y sólo sí det A ≠ 0. Ejemplo Determine si la matriz tiene una inversa. Si es Así, encuentre su matriz inversa. a) b)

Propiedades de matrices Sean I una matriz identidad; A, B y C matrices cuyos órdenes son tales que las sumas, diferencias y productos siguientes están definidos: Propiedad conmutativa Suma: A + B = B + A Mult.: en general no se cumple Propiedad de la identidad Suma: A + 0 = A Mult.: AI = IA = A Propiedad distributiva A(B ± C) = AB ± AC (A ± B)C = AC ± BC 4. Propiedad asociativa Suma: (A + B) + C = A + (B + C) Mult.: (AB)C = A(BC) 5. Propiedad del inverso Suma: A + (-A) = 0 Mult.: AA-1 = A-1A = I

Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 16, 22, 26, 36, 38, 40, 64 y 66 de las páginas 590 al 593. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.