Algunos Orígenes Físicos de las Ecuaciones Diferenciales Ejemplo 1 Se sabe, que los objetos en caída libre tienen una aceleración constante igual a la gravedad , la velocidad es la derivada del espacio con respecto del tiempo, y la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto del tiempo, entonces se tiene: : es la ecuación diferencial que da la distancia vertical también se tiene obtenemos Resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene
Ejemplo 2 Consideremos un resorte suspendido de un techo, se cuelga del resorte una masa y cuando alcanza su posición de equilibrio, se jala hacia abajo una distancia , luego se suelta generándose así un movimiento vibratorio alrededor de la posición de equilibrio. Observación: Para encontrar el desplazamiento vertical de la masa alrededor de la posición de equilibrio usamos la ley de Hooke Ley de Hooke: La fuerza de restitución de un resorte estirado es proporcional a su alargamiento , esto es Fuerza de restitución: Cuando el sistema esta en movimiento, la fuerza neta que actúa sobre la masa es: Además, se tiene
Reemplazando en tenemos Si por la condición de equilibrio se tiene entonces
Ejemplo 3 Consideremos un circuito simple conectado en serie que consta de un inductor, un resistor, y un capacitor tal como se muestra en a figura Observación: Para determinar la carga eléctrica en un instante usaremos la ley de Kirchoff Ley de Kirchoff La suma de las caídas de voltaje a través de cada una de las componentes del circuito es igual al voltaje proporcionado por la batería, donde las caídas de voltaje son: Intensidad de corriente: La caída de voltaje en un resistor: Caída de voltaje en un inductor:
La caída de voltaje en un capacitor: Donde se tiene Ejemplo 4 Cuando una enfermedad contagiosa se propaga, la rapidez con que la enfermedad se propaga no solo es proporcional al número de personas que han contraído, si no también al número de personas que aun no han contraído la enfermedad. Esto es Si una persona infectada se introduce en una población fija de n-personas, entonces y se relacionan por: Por lo tanto Cuando