CÁLCULO DE PROBABILIDADES TEMA 13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

EXPERIMENTOS ALEATORIOS TEMA 13.3 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Experimentos aleatorios SUCESOS ALEATORIOS Hay muchos fenómenos en los que, antes de que se produzcan, se puede predecir el resultado. Mientras que hay otros que dependen del azar y se les llama sucesos aleatorios. En éstos últimos por mucho que se repita el experimento y en las mismas condiciones, no se puede predecir el resultado. El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama ESPACIO MUESTRAL y se designa por E. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda al aire. E={c, x} Lanzamiento de un dado al aire. E={1, 2, 3, 4, 5, 6} Extraer una carta de una baraja. E={AsB, 2B, 3B, …, RO} Extraer una bola en un sorteo de lotería. E={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Familias con dos hijos. E={VV,VM,MV,MM} @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I TIPOS DE SUCESOS Suceso ELEMENTAL Es aquel formado por un único punto muestral, es decir por un único resultado del experimento. Suceso COMPUESTO Es el que está formado por dos o más sucesos elementales. Suceso SEGURO Es el que está formado por todos los resultados posibles. Suceso IMPOSIBLE Es aquel que nunca se verifica. Se representa por ø. Sucesos IGUALES Son los que están formados por los mismos puntos muestrales. Suceso CONTRARIO Es el que se verifica cuando no se realiza el suceso A. Sucesos COMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos compatibles cuando se pueden dar a la vez. Sucesos INCOMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos incompatibles cuando no se pueden dar a la vez. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I LEY DEL AZAR LEY DEL AZAR Aunque no se puede predecir el resultado, por ejemplo al lanzar un dado al aire, si se repite la experiencia muchas veces, se observa que cada una de las distintas posibilidades aparece aproximadamente el mismo número de veces. Las frecuencias absolutas y relativas tienden a igualarse. Veamos un ejemplo: Si lanzamos un dado (no trucado) al aire 6 veces, lo más seguro es que no obtengamos los seis resultados posibles. Si lo lanzamos 60 veces, es muy posible, casi seguro, obtener los seis resultados, aunque con distintas frecuencias relativas. Si lo lanzamos 6 millones de veces, es muy posible que cada resultado del 1 al 6 haya salido aproximadamente un millón de veces. Si seguimos lanzando el dado millones de veces más, la frecuencia de todas las modalidades se igualará, y tendrá un valor de: fr = 1/6 = 0,1667 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo Ley del Azar RESULTADOS DEL LANZAMIENTO DE UN DADO, TRAS 10, 100, 600 Y 1200 VECES, CON SU FRECUENCIA ABSOLUTA Y SU FRECUENCIA RELATIVA EN %. Exp 1 fr. 2 3 4 5 6 10 20 30 40 100 15 25 14 16 600 87 95 110 18 89 94 125 21 1200 197 204 17 189 207 210 193 La PROBABILIDAD es el límite a que tienden las frecuencias relativas cuando el número de experiencias tiende a infinito o a un número muy elevado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Otro ejemplo Ley del Azar RESULTADOS DEL LANZAMIENTO DE DOS DADOS, TRAS 100, 1000 y 10000 VECES, CON SU FRECUENCIA ABSOLUTA Y SU FRECUENCIA RELATIVA EN %. Exp 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 100 13 20 14 fr(%) 1000 60 80 141 140 150 245 95 30 35 2,00 6,00 8,00 14,50 14,00 15,00 24,50 10,00 9,50 3,00 3,50 10000 275 550 825 1125 1400 1625 1375 1150 850 575 250 2,75 5,50 8,25 11,25 16,25 13,75 11,50 8,50 5,75 2,50 La PROBABILIDAD o frecuencia teórica del 7, por ejemplo, veremos que es: P(7) = Casos favorables / Casos totales = 6 / 36 = 1 / 6 = 0,1667 = 16,67% @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

OPERACIONES CON SUCESOS TEMA 13.4 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Operaciones con sucesos La UNIÓN de dos sucesos A y B, AUB, es el suceso que consiste en que se cumpla, al menos, uno de los dos. En los enunciados suele venir “ … se cumpla A o B …” Y el resultado suele ser una suma de probabilidades: P(AUB)=P(A)+P(B). La INTERSECCIÓN de dos sucesos A y B, A∩B, es el suceso consistente en que se cumplan A y B a la vez. En los enunciados suele venir “ … se cumpla A y B …” Y el resultado suele ser un producto de probabilidades: P(A∩B )=P(A).P(B) La DIFERENCIA de dos sucesos A y B, A – B, es el suceso que consiste en que se cumpla A pero no se cumpla B. Un ejemplo puede ser “ … tal que sean pares no múltiplos de 5” Y el resultado suele ser una resta de probabilidades. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Gráficos ilustrativos E E *9 *9 *3 *3 *7 *1 *1 *7 *5 *5 *11 *2 *8 *8 *6 *6 A A *2 *12 *12 *4 *11 *4 *10 *10 B B E(AUB)={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} E(A∩B )={6,11} E(A – B)={3,5,7,9} E(B – A)={4,8,10,12} @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I LEYES DE MORGAN LEYES DE MORGAN Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, se verifican las siguientes propiedades: 1.- El contrario de la unión es la intersección de los contrarios. _____ _ _ A U B = A ∩ B 2.- El contrario de la intersección es la unión de los contrarios. A ∩ B = A U B Son muy utilizadas en automatismos electrónicos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 1 Sea A={2,4} Sea B={4,8,10} Sea E={2,4,6,8,10} AUB = {2,4,8,10} ____ AUB = {6} _ A ={6,8,10} B ={2,6} _ _ AUB= {2,6,8,10} A∩B = {6} A∩B = {4} A∩B = {2,6,8,10} A E *2 *4 *8 *6 *10 B ____ _ _ AUB = A∩B A∩B = AUB @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 Sea A={2,3,5,6,7,9} Sea B={2,4,6,8,10,12} Sea E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} AUB = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,12} ____ AUB = {1, 11} _ A ={1,11,4,8,10,12} B ={1,11,3,5,7,9} _ _ AUB= {1,3,4,5,7,8,9,10,11,12} A∩B = {1,11} A∩B = {2, 6} A∩B = {1,3,4,5,7,8,9,10,11,12} A E *9 *3 *1 *7 *5 *2 *8 *6 *12 *11 *4 *10 B ____ _ _ AUB = A∩B A∩B = AUB @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I