1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar EXPERIENTO ALEATORIO. SUCESOS Un experimento.

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1 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar EXPERIENTO ALEATORIO. SUCESOS Un experimento aleatorio es aquel en el que no se puede predecir el resultado que se va a obtener. El conjunto de todos los resultados que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral (E). Cada uno de los subconjuntos del espacio muestral se llama suceso. El conjunto de todos los sucesos que pueden tener lugar en un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio de sucesos ( P (E)) Considerando un experimento aleatorio con n resultados distintos se cumple que P (E) = 2 n Tipos de sucesos elementales: están formados por un único resultado del experimento compuestos: están formados por más de un resultado del experimento aleatorio seguros: se verifican siempre que se realiza el experimento. Se identifica por E imposibles: los que no se verifican nunca. Se representan por contrarios o complementarios: dos sucesos son contrarios o complementarios si la verificación de uno implica la no verificación del otro incompatibles: dos sucesos son incompatibles si no se pueden verificar los dos simultáneamente

2 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar OPERACIONES CON SUCESOS Unión de sucesos (A U B): es el suceso que se verifica si lo hace A ó B, es decir, al menos uno de los dos. Propiedades de las operaciones de sucesosLeyes de De Morgan A U B = A ∩ B A B = A U B Intersección de sucesos (A∩B): es el suceso que se verifica si lo hacen A y B, es decir, los dos al mismo tiempo.

3 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar PROBABILIDAD Ejemplo Número de veces que han salido dos caras al lanzar dos monedas Ley de Laplace Probabilidad de A = P(A) = N°N° de ca sos favorables al suceso A de casos p ibles N°N° Al realizar un experimento n veces, el suceso A se verifica en m ocasiones, con m ≤ n. Entonces podemos definir: frecuencia absoluta del suceso A (f(A)) es m frecuencia relativa del suceso A (fr(A)) es m n Ley de los Grandes Números La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse a medida que aumenta el número de veces que se realiza el experimento. Probabilidad de A = P(A) = lim n ∞ = lim n ∞ fr (A)

4 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD Definición Sea P (E) el espacio de sucesos correspondiente a un experimento aleatorio y sea A un suceso de P (E). La probabilidad es la aplicación p: p: P (E) → [0, 1] A → p(A) de modo que p(A) es la probabilidad del suceso A. Axiomas p(E) = 1 0 ≤ p(A) ≤ 1 Si A y B son incompatibles, A ∩ B = ø, entonces: p(A U B) = p(A) + p(B) Propiedades p(A) + p(A) = 1 p(ø) = 0 Si los sucesos A 1, A 2, A 3, …, A n son incompatibles 2 a 2, es decir, A i ∩ A j = ø para todo i, j, entonces p(A 1 U A 2 U A 3 U … U A n ) = p(A 1 ) + p(A 2 ) + p(A 3 ) + … + p(A n ) Si A 1 U A 2 U A 3 U … U A n = E entonces p(A 1 ) + p(A 2 ) + p(A 3 ) + … + p(A n ) = 1

5 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar PROBABILIDAD CONDICIONADA Dos sucesos A y B son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no está condicionada por la verificación del otro. Es decir, se cumple: p(B/A) = p(B) y p(A/B) = p(A) Si A y B son independientes, se cumple: p(A∩B) = p(A) · p(B) Generalizando, si A 1, A 2, A 3, …, A n son sucesos independientes 2 a 2, se cumple que: p(A 1 ∩A 2 ∩A 3 ∩…∩A n ) = p(A 1 ) · p(A 2 ) · p(A 3 ) · … · p(A n ) donde p(A i /A j ) = p(A i ) para todo i, j Ley de las probabilidades compuestas para 2 sucesos: p(A∩B) = p(A) · p(B/A) generalizando: p(A∩B∩C) = p(A) · p(B/A) · p(C/A∩B) Se denomina probabilidad condicionada del suceso A respecto del suceso B (p(A/B)), a la probabilidad del suceso A sabiendo que se ha cumplido el suceso B. Esta definición corresponde a la idea de dar la probabilidad del suceso A como si todos los casos posibles se hubieran restringido a los casos favorables a B. p(A/B) = p( A B) p(B) si p(B) ≠ 0 y p(B/A) = p(AB) p(A) si p(A) ≠ 0 ∩ ∩

6 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE BAYES Ejemplo En un centro educativo, el 30% de los alumnos que realizan el Bachillerato cursan el tecnológico; el 25% el de Ciencias de la Salud; el 42% el de Humanidades y el 3% el de Artes. El porcentaje de aprobados en estas modalidades es, respectivamente, del 70%, 69%, 80% y 95%. Escogiendo un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe el curso? Probabilidad total Si tenemos n sucesos incompatibles 2 a 2, es decir, Ai ∩ Aj = ø para todo i, j que cumplen que A 1 U A 2 U A 3 U … U A n = E, la probabilidad de un suceso cualquiera S es: P(S) = p(A 1 ) · p(S/A 1 ) + p(A 2 ) · p(S/A 2 ) + … + p(A n ) · p(S/A n ) Teorema de Bayes Si tenemos n sucesos incompatibles 2 a 2, es decir, Ai ∩ Aj = ø para todo i, j que cumplen que A 1 U A 2 U A 3 U … U A n = E, se obtiene: P(A i /S) = p(A i ). p(S/A i ) p(A 1 ). p( A 1 ) +p(A 2 ). p( A 2 ) +… +p(A n ). p( A n ) El Teorema de Bayes invierte el planteamiento y permite calcular, conocida la verificación de un determinado suceso, cuál es la causa de la que proviene. En el ejemplo anterior la pregunta planteada sería: sabiendo que un alumno ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que cursara el Bachillerato Tecnológico? P(T/ap) = p(T). p(ap/T) p(T). p(ap/T) + p(C). p(ap/C) (H). p(ap/H) + p(A). p(ap/A)