Tema 14 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Tema 10.1 * 1º BCS VARIABLE DISCRETA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Definiciones En un experimento aleatorio se llama variable aleatoria toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar valores aislados (valores finitos en un intervalo finito). Por ejemplo, edad de una persona, nº de hermanos, etc. Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar todos los valores posibles de un intervalo (infinitos valores en un intervalo finito). Por ejemplo, peso de una persona, altura de una persona, etc. La función o distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, X, es la aplicación que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad pi. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD 1.- La probabilidad pi de un valor xi, pi = P(X = xi) es un número no negativo entre 0 y 1 0 ≤ pi ≤ 1 2.- La suma de las probabilidades de los valores del recorrido de la variable es 1. Σ pi = 1 3.- La probabilidad de que una variable aleatoria tome algún valor dentro de un conjunto de valores concretos es la suma de probabilidades asociadas a cada uno de ellos. EJEMPLO 1 Se lanzan un dado al aire con 1 uno, 2 doses y 3 treses. Se observa que los valores de pi son positivos, entre 0 y 1. La suma de probabilidades es 1/ 6 + 2/ 6 + 3/6 = 6/6 = 1 P(1 ≤ X ≤ 2) = P(X=1)+P(X=2) = 1/6 + 2/6 = 3/6 = ½ = 0,50 Valores de la variable aleatoria discreta xi 1 2 3 Probabilidades correspondientes pi 1/6 2/6 3/6 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo de aplicación Un grupo de diez amigos acostumbran a salir juntos frecuentemente. Pero cada vez que salen, el número de ellos es aleatoriamente distinto. Sea x el nº de personas que salen juntas. Sabemos que 3 ≤ x ≤ 10. X es una variable DISCRETA, o sea toma valores finitos ( enteros en este caso ) en [ 3 , 10 ] Imaginemos que anotamos el número de ello cada vez que salen juntos, o sea repetimos la misma observación hasta un número muy grande de veces. Según la ley del azar, en todo experimento aleatorio, las frecuencias relativas tienden a su probabilidad cuando el número de datos es suficientemente grande. Vemos que las frecuencias relativas se han convertido en las probabilidades. La variable estadística x toma el nombre de variable aleatoria en la distribución de probabilidades. La distribución de probabilidad es una idealización de la distribución de frecuencias. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Tabulación de resultados observados X 3 4 5 6 7 8 9 10 f 1 2 18 27 19 11 100 36 32 26 30 15 200 130 240 140 80 60 50 1000 hi 0,10 0,13 0,24 0,20 0,14 0,08 0,06 0,05 P(X) La frecuencia relativa (hi) es hi = f / Σ f , que es la probabilidad P(x) cuando Σ f es muy grande. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 3 4 5 6 7 8 9 10 X P(X=xi) 0,05 0,24 0,14 0,10 0,20 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD EJEMPLO 2 Se observa que las distintas probabilidades presentan un valor positivo entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los valores posibles de la variable es la unidad. Es una función de probabilidad discreta. Calculemos la probabilidad de que se junten 5, 6 ó 7 amigos: P(5 ≤ X ≤ 7) = P(X=5) + + P(X=6) + P(X=7) = = 0,24 + 0,20 + 0,14 = = 0,58 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I PARÁMETROS Tema 10.2 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I ESPERANZA MATEMÁTICA MEDIA EN UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA. _ No difiere su cálculo de la media de una variable estadística, x . Se denota por la letra griega μ. Se llama valor esperado o esperanza matemática, nombre preveniente de los juegos de azar, origen de la probabilidad. μ es la medida utilizada para medir la equidad de un juego. Si μ = 0 , no hay ventaja ni para el jugador ni para la banca. Por cada 100 € jugados: μ = 70 en la Lotería Nacional. μ = 55 en la Lotería Primitiva o en la Quiniela de fútbol. Forma de hallarla: μ = Σ xi . pi @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 1 El dado con 1 uno, 2 doses y 3 treses. μ = Σ xi . Pi μ = 1.(1/6) + 2.(2/6) + 3.(3/6) = 1/6 + 4/6 + 9/6 = 14/6 = 2,33 Lo que significa que el valor esperado al lanzar dicho dado es de un 2. EJEMPLO 2 Los diez amigos que se reúnen para salir en número aleatorio. μ = 3.0,10 + 4.0,13 + 5.0,24 + 6.0,20 + 7.0’14 + 8.0’08 + 9.0’06 + + 10.0’05 = = 0,3 + 0,52 + 1,25 + 1,2 + 0,98 + 0,64 + 0,56 + 0,5 = 5,95  6 Lo que significa que el valor esperado en dicha observación es de 6 personas. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Desviación típica (σ) DESVIACIÓN TÍPICA EN UNA DISTRIBUCIÓN DE P. DISCRETA. No difiere ni su nomenclatura ni su cálculo de la desviación típica de una variable estadística. Forma de hallarla: σ = √ Σ (xi – μ)2 . pi EJEMPLO 1 El dado con 1 uno, 2 doses y 3 treses. σ = √ (1 – 2,33)2 . 1/6 + (2 – 2,33)2 . 2/6 + (3 – 2,33)2 . 3/6 = = 0,2963 + 0,0370 + 0,2222 = 0,5555 EJEMPLO 2 Los diez amigos que se reúnen para salir en número aleatorio. σ = √ (3 – 5,95)2. 0,10 + (4 – 5,95)2. 0,13 + (5 – 5,95)2. 0,25 + (6 – 5,95)2. 0,20 + + (7 – 5,95)2. 0,14 + (8 – 5,95)2. 0,08 + (9 – 5,95)2. 0,06 + (10 – 5,95)2. 0,05 = = √ ( 0,9 + 0,52 + 0,25 + 0 + 0,14 + 0,32 + 0,54 + 0,9 ) = √ 3,57 = 1,89 El 68% de las veces se reúnen entre 4 (5,95 – 1,89) y 8 (5,95 + 1,89) amigos @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 3 En urna hay 3 bolas blancas y 5 bolas negras. Si sacamos una bola negra pagamos a la banca 5 Euros, pero si es blanca ganamos 10 Euros. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ?. 2 xi pi xi – μ (xi – μ) .pi -5 5/8 = 0,625 -5,525 19,08 10 3/8 = 0,375 9,475 33,66 ∑= 52,74 μ = -5.0,625+10.0,375 = -3,125 + 3,75 = 0,525 Sí jugaría, pues tengo ventaja. σ = √ 52,74 = 7,275 CV (x) = 7,275 / 0,525 = 14 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 4 Lanzamos dos monedas al aire. Apostamos 5 Euros. Si salen dos caras, volvemos a tirar; si salen dos cruces, nos llevamos 10 Euros; pero si sale una cara y una cruz perdemos lo apostado. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ?. Xi pi - 5 2/4 = 0,5 0 1/4 = 0,25 10 1/4 = 0,25 μ = - 5. 0,5+ 0. 0,25 + 10. 0,25 = -2,5 +0 + 2,5 = 0 Al ser μ = 0 el juego es equitativo, no hay ventaja ni para el jugador ni para la banca, @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 5 En una urna hay 2 bolas blancas y 5 bolas rojas. Extraemos una bola y la sustituimos por otra de distinto color. Luego extraemos otra bola. Si el resultado es BB, ganamos 50 Euros; si es BR, ni ganamos ni perdemos; si es RB perdemos 5 Euros; y si es RR perdemos 10 Euros. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ?. P(BB) = 2 / 7 . 1/ 7 = 2 / 49 = 0,041 P(BR) = 2/ 7 . 6 /7 = 12 / 49 = 0,245 P(RB) = 5 / 7 . 3 / 7 = 15 / 49 = 0,306 P(RR) = 5 / 7 . 4 / 7 = 20 / 49 = 0,408 Xi pi 50 0,041 0 0,245 - 5 0,306 - 10 0,408 μ = 50. 0,041+ 0. 0,245 – 5 .0,306 – 10.0,408 = - 3,56 No jugaríamos, pues tenemos desventaja, no es equitativo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 6 Lanzamos dos dados en forma de tetraedro, uno con las caras numeradas del 0 al 3, y el otro con las caras numeradas del 1 al 4. ¿Cuál es la esperanza matemática o valor esperado de la función que asigna a cada valor de x la suma de resultados?. xi fi pi xi.pi 1 1 0,0625 0,0625 2 2 0,1250 0,25 3 3 0,1875 0,5625 4 4 0,25 1,00 5 3 0,1875 0,9375 6 2 0,1250 0,75 7 1 0,0625 0,4375 16 4,00 X / Y 1 2 3 4 5 6 7 μ = ∑xi.pi = 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I