Fundamentos de la Lógica Unidad I: Fundamentos de la Lógica Docente: Ing. Eduardo González

Lógica Proposicional Área de la matemática que trata las proposiciones y el razonamiento lógico matemático.   La lógica son reglas que: Dan significado a enunciados y sentencias matemáticas. Distinguen argumentos validos y no validos. Se aplican en la construcción de programas y circuitos de computadores.

Proposición Oración declarativa Simple Compuesta Puede ser Oración declarativa Simple Compuesta Tiene un único valor lógico Sin conectivos lógicos Con conectivos lógicos Verdadero Falso Ejemplo: El Sol es una estrella Ejemplo: El Sol es una estrella y la Tierra gira alrededor del Sol Pero No ambos a la vez

No son consideradas proposiciones lógicas… Las preguntas. Oraciones que no son falsas ni verdaderas. Oraciones imprecisas. Oraciones que son falsas y verdaderas al mismo tiempo. Oraciones que carecen de sentido.

Ejemplos Estructuras discretas es muy fácil . Pi=3,1416. La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 480. ¿A qué hora salimos, profe? X+Y=Z. ¡Presta atención! La dirección de mi blog es www.edlugome.wordpress.com Profe, tengo sueño.

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Lógica Proposicional Las proposiciones simples se denotan con letras minúsculas: p, q, r, s. Las proposiciones compuestas se denotan con letras mayúsculas: P, Q, R, S.

Valor de la verdad El valor de verdad de una proposición puede ser verdadero (1) o falso (0), también pueden ser denotados con V y F, respectivamente.

Ejercicios Determine cuáles de las siguientes son proposiciones lógicas y su valor de la verdad. p: El profesor Eduardo es el mejor. q: Existe el premio Nobel de informática. r: Hola ¿Cómo estás? s: 4+5= Maracaibo. t: La tierra es el único planeta que tiene vida.

Ejercicios p:No es una proposición lógica, carece de contexto. q:Es una proposición lógica, su valor de la verdad es 0. r:No es una proposición lógica, es una pregunta. s:No es una proposición lógica, carece de contexto. t:No es una proposición lógica, no se sabe si hay vida en otros planetas, por lo tanto no sabemos si es verdadera o falsa.

Proposiciones Compuestas Si las proposiciones p, q, r, s se combinan para formar la proposición P, diremos que P es una proposición compuesta de p, q, r, s. Ejemplo: p: Isaac Newton es el padre de la física. q: Estructuras Discretas es mi materia favorita. r: Él es inteligente. s: Él estudia todos los días.

Proposiciones Compuestas «Isaac Newton es el padre de la física y Estructuras Discretas es mi materia Favorita» «Él es inteligente o Él estudia todos los días»

Proposiciones Compuestas La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con la forma en la que están conectadas.

Tabla de Verdad Es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar. La tabla de verdad de una proposición compuesta P enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p, q, r, s,…

Tabla de Verdad Por ejemplo, si P es una proposición compuesta por las proposiciones simples p, q y r, entonces la tabla de verdad de P deberá recoger los siguientes valores de verdad. p q r V F

Tabla de Verdad Otro ejemplo.. p q V F

Operadores y Conectores Lógicos Los Operadores Lógicos: Son operadores aplicados a las proposiciones, para generar nuevas proposiciones. Los Conectivos Lógicos: son operadores lógicos que se usan para formar nuevas proposiciones a partir de 2 o mas proposiciones existentes.

Tipos de operadores Lógicos

Negación Sea p una proposición, el enunciado: << no se cumple p >> Es otra proposición llamada “Negación de p”. Se denota: ¬p y se lee <<no p >>. Su tabla de verdad es: p ¬p 1

Negación EJEMPLOS: p: «Samsung fabrica teléfonos celulares» ¬p: «Samsung no fabrica teléfonos celulares» ¬p: «Es falso que Samsung fabrica teléfonos celulares» q: «2+4=8» ¬q: «Es falso que 2+4=8» ¬q: «2+4 ≠ 8»

Conjunción Sean p y q proposiciones. La proposición << p y q >>, denotada por p Ù q, es la proposición que es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en cualquier otro caso. Su tabla de verdad es: p q p ^ q 0 0 0 1 1 0 1 1 1

Conjunción EJEMPLOS: p: «Hoy es viernes.» q: «Hoy llueve.» p ^ q: «Hoy es viernes y hoy llueve.» Verdad: Los viernes con lluvia. Falso: Cualquier día diferente de viernes y los viernes que no llueve.

Disyunción Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q >>, denotada por p Ú q, es la proposición que es falsa cuando tanto p como q son falsas y verdadera en cualquier otro caso. Su tabla de verdad es: p q p Ú q 0 0 0 1 1 1 0 1 1

Disyunción EJEMPLOS: p: «Hoy es viernes.» q: «Hoy llueve.» p Ú q: «Hoy es viernes u hoy llueve.» Verdad: Cualquier día que sea viernes o llueva, incluyendo los viernes con lluvia. Falso: Los días que ni son viernes, ni llueve.

Disyunción Excluyente Sean p y q proposiciones. La proposición << p o q (pero no ambas) >>, denotada por p Å q, es la proposición que es verdadera cuando solo una de las dos proposiciones p y q es verdadera; y es falsa cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas. Su tabla de verdad es: p q p Å q 0 0 0 1 1 1 0 1 1

Disyunción Excluyente EJEMPLO: p: «Hoy es viernes.» q: «Hoy llueve.» p Å q: «Hoy es viernes u hoy llueve.» Verdad: Cualquier día que sea viernes o llueva, pero no ambos. Falso: Los viernes con lluvia, y los otros días que no llueve.

Implicación o Condicional Sean p y q proposiciones. La implicación p®q es la proposición que es falsa cuando p es verdadera y q es falsa; y es verdadera en cualquier otro caso. p®q (Hipótesis o Causa) (Conclusión o Consecuencia) p q p®q 0 0 1 0 1 1 0 1 1

Implicación o Condicional FORMAS DE EXPRESAR EL CONDICIONAL EN LENGUAJE NATURAL: «Si p, entonces q» «p implica q» «q si p» «p solo si q» «p siempre que q»

Bicondicional o Doble Implicación Sean p y q proposiciones, el Bicondicional o Doble Implicación, p « q es la proposición que es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y falsa en los otros casos. Su tabla de verdad es: p q p« q 0 0 1 0 1 1 0 1 1

Bicondicional o Doble Implicación FORMAS DE EXPRESAR EL BICONDICIONAL EN LENGUAJE NATURAL: «p si, y solo si q» «p es necesario y suficiente para q»

Bicondicional o Doble Implicación FORMAS DE EXPRESAR EL BICONDICIONAL EN LENGUAJE NATURAL: «p si, y solo si q» «p es necesario y suficiente para q»

Bicondicional o Doble Implicación Ejemplo: p: «Puedes tomar el vuelo.» q: «Compras un pasaje.» p « q: «Puedes tomar el vuelo si, y solo si, compras un pasaje» Esta expresión es verdadera si p y q son ambas verdaderas o ambas falsas.

Precedencia de Operadores Lógicos. Orden Operador Nombre 1 ¬ Negación 2 Ù Conjunción 3 Ú Disyunción 4 ® Implicación 5 « Bicondicional

Consiste en pasar del lenguaje natural al lenguaje formal. Formalización Consiste en pasar del lenguaje natural al lenguaje formal. Ejemplo: «Puedes acceder a internet desde el LC1 solo si estudias Computación o no eres alumno del primer período.» p ® (q Ú ¬r) p q r

Equivalencias Proposicionales Dos formulas son lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de verdad en todos los casos. También se dice que p y q son lógicamente equivalentes si p « q es una tautología y se denota por p º q.

Tautologías y Contradicciones Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p, q, r,… P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p, q, r, … P es una Contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p, q, r,… Una proposición P que no es tautología ni contradicción se llama, usualmente, Contingencia.

Tautologías y Contradicciones   Tautología Contradicción p ¬p pÚ¬p pÙ¬p 1

Ejercicios: ¿Cuál es la negación de cada uno de los siguientes enunciados? Hoy es martes. No hay contaminación en Ciudad Ojeda. 2 + 1 = 3. El clima en Mérida es cálido y soleado. Sean los enunciados p: «Tienes fiebre», q: «Suspendes el examen final» y r: «Apruebas el curso». Expresa cada una de las siguientes fórmulas en lenguaje natural. p ® q ¬p « r q ® ¬r p Ú q Ú r (p ® ¬r) Ú (q ® ¬r)

Sean p y q los enunciados «Conduces a mas de 100 Km Sean p y q los enunciados «Conduces a mas de 100 Km. por hora» y «Te multan por exceso de velocidad», respectivamente. Escribe los siguientes enunciados usando p, q y conectivos lógicos: No conduces a más de 100 Km. por hora. Conduces a más de 100 Km. por hora, pero no te multan por exceso de velocidad. Te multaran por exceso de velocidad si conduces a más de 100 Km. Por hora. Si no conduces a mas de 100 Km. por hora no te multarán por exceso de velocidad. Determina si las siguientes implicaciones son verdaderas o falsas: Si 1 + 1 = 2, entonces 2 + 2 = 5. Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 4. Si 1 + 1 = 3, entonces 2 + 2 = 5. Si los cerdos vuelan, entonces 1 + 1 = 3.

Sean las proposiciones p: «Tienes fiebre», q: «No suspendes el examen final» y r: «Apruebas la asignatura», expresa en lenguaje natural la expresión: ((p ®Øq) Ù (Øp ®r)) Simboliza las siguientes proposiciones: No vi la película pero leí la novela. Ni vi la película ni leí la novela. No es cierto que viese la película y leyese la novela. Vi la película aunque no leí la novela.

Sean p, q y r las proposiciones «El número N es par», «La salida va a la pantalla» y «Los resultados se dirigen a la impresora», respectivamente. Enunciar en Lenguaje Natural las siguientes proposiciones: q ® p ¬ q ® r r ® (p Ú q) Tomando en cuenta las proposiciones del ejercicio anterior, escribir, usando conectivos lógicos, una proposición que simbolice cada una de las siguientes afirmaciones: Si el número N es par, los resultados se dirigen a la impresora y la salida va a la pantalla. La salida va a la pantalla si, y solo si, los resultados se dirigen a la impresora. No es cierto que el número N sea par o la salida no va a la pantalla. Si el número N es par, la salida va a la pantalla y los resultados se dirigen a la impresora, pero no ambas cosas a la vez.