UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA MAESTRÍA Y DOCTORADO EN INGENIERÍA MATEMÁTICAS AVANZADAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (ODE) CONDICIONES INICIALES CARLOS ALBERTO PALACIO TOBÓN. Medellín 2007 – I

Contenido Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Motivación Problemas de Valor Inicial .vs. Problemas de frontera Problemas Estables .vs. Inestables Problemas de Valor Inicial Método de Euler Métodos de Heun Métodos de Runge – Kutta

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? Motivación ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? Es una ecuación de la forma: Es decir una ecuación en las cual existen relaciones de una función con sus derivadas. Relacion entre diferentes aspectos de las E.D. Ejemplo de una E.D. (1.1) Que es la variable independiente? Que es lo que se soluciona? Funcion que resuelve la E.D. Identificacion de parametros Enque contexto se habla de ED lineales o no lineales?

CLASIFICACIÓN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Motivación CLASIFICACIÓN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La primera gran clasificación es si la ecuación contiene derivadas ordinarias o derivadas parciales: Relacion entre diferentes aspectos de las E.D. Ejemplo de una E.D. (1.1) Que es la variable independiente? Que es lo que se soluciona? Funcion que resuelve la E.D. Identificacion de parametros Enque contexto se habla de ED lineales o no lineales?

OTROS ELEMENTOS DE CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Motivación OTROS ELEMENTOS DE CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES El orden de una ecuación diferencial: es igual al de la derivada de más alto orden que aparece en ella. El grado de una ecuación diferencial es el exponente de la potencia más alta a la que aparece elevada alguna de las variables de la ecuación. Relacion entre diferentes aspectos de las E.D. Ejemplo de una E.D. (1.1) Que es la variable independiente? Que es lo que se soluciona? Funcion que resuelve la E.D. Identificacion de parametros Enque contexto se habla de ED lineales o no lineales?

¿CÓMO SE SOLUCIONA UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? Motivación ¿CÓMO SE SOLUCIONA UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? Solución analítica: expresa la solución general en funciones elementales (polinomios, exponenciales, etc.). No se abordará Solución numérica: obtiene las soluciones particulares de una ecuación diferencial. Pare ello se formula de tal forma que su solución sea posible usando operaciones aritméticas. Se abordará en esta presentación. Relacion entre diferentes aspectos de las E.D. Ejemplo de una E.D. (1.1) Que es la variable independiente? Que es lo que se soluciona? Funcion que resuelve la E.D. Identificacion de parametros Enque contexto se habla de ED lineales o no lineales?

Motivación Ley Física EDO Solución Analítica Numérica Relacion entre diferentes aspectos de las E.D. Ejemplo de una E.D. (1.1) Que es la variable independiente? Que es lo que se soluciona? Funcion que resuelve la E.D. Identificacion de parametros Enque contexto se habla de ED lineales o no lineales?

Aproximación por funciones Método de diferencias Motivación Solución numérica Aproximación por funciones Método de diferencias (step by step) Relacion entre diferentes aspectos de las E.D. Ejemplo de una E.D. (1.1) Que es la variable independiente? Que es lo que se soluciona? Funcion que resuelve la E.D. Identificacion de parametros Enque contexto se habla de ED lineales o no lineales? Metodo de Euler Metodo de Runge-Kuta ... Polinomios ortogonales Series de Fourier Funciones ortogonales

¿CÓMO SE SOLUCIONA UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? Motivación ¿CÓMO SE SOLUCIONA UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL? Para hallar la solución particular de una ecuación de grado “n” se requieren “n” condiciones independientes; la forma como un problema entrega estas condiciones da origen a dos tipos de problemas: Los de valores iniciales Los de valores de frontera. Relacion entre diferentes aspectos de las E.D. Ejemplo de una E.D. (1.1) Que es la variable independiente? Que es lo que se soluciona? Funcion que resuelve la E.D. Identificacion de parametros Enque contexto se habla de ED lineales o no lineales?

PROBLEMAS DE VALORES INICIALES Dada una EDO de orden “n” un problema con condiciones iniciales es: Relacion entre diferentes aspectos de las E.D. Ejemplo de una E.D. (1.1) Que es la variable independiente? Que es lo que se soluciona? Funcion que resuelve la E.D. Identificacion de parametros Enque contexto se habla de ED lineales o no lineales?

PROBLEMAS DE VALORES DE FRONTERA El orden mínimo de la ecuación diferencial para un problema de valores de frontera es dos: Relacion entre diferentes aspectos de las E.D. Ejemplo de una E.D. (1.1) Que es la variable independiente? Que es lo que se soluciona? Funcion que resuelve la E.D. Identificacion de parametros Enque contexto se habla de ED lineales o no lineales?

PROBLEMAS DE VALORES INICIALES Y DE VALORES DE FRONTERA En problemas de valores iniciales entregan condiciones en el extremo inicial del intervalo de solución. Los problemas de valores de frontera establecen condiciones en todos y cada uno de los puntos que constituyen la frontera del dominio de solución. Ejemplo en una dimensión, si el dominio de solución es a<x<b, hay dos puntos frontera, x=a y x=b; las condiciones son f(x=a)=C1 y f(x-b)=C2. Relacion entre diferentes aspectos de las E.D. Ejemplo de una E.D. (1.1) Que es la variable independiente? Que es lo que se soluciona? Funcion que resuelve la E.D. Identificacion de parametros Enque contexto se habla de ED lineales o no lineales?

Problemas de Valor Inicial .vs. Problemas de frontera y’= y Solución y(t) = c exp(t) Como verificar la solución ? Valor de frontera Que diferencia existe entre los problemas de condiciones iniciales y los de condiciones de frontera? Podrian dar algunos ejemplos? Si tengo una funcion solucion como verifico que eso es solucion? En este libro se hace la advertencia de que no se trabajaran metodos de solucion de problemas con valores de frontera, pero estos metodos se pueden extender de manera natural para resolver estos problemas, como se vera en el metodo del disparo. y’ = z z’ = -y Solución y(t) = A sin(t+a) z(t) = A cos(t+a) y(0)=0 y(π)=0 muchas soluciones

Problemas Estables vs. Inestables ECUACION DIFERENCIAL Inestable Estable y’ = a y y(t) = c exp(at) a < 0 a > 0 y’ = -y Solución y(t) = c exp(-t) y’ = y Solución y(t) = c exp(t) Se presenta el concepto de estabilidad de una ED. Cuando una ED es estable o inestable? Caso lineal Caso no lineal

PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Los métodos numéricos que estudiaremos se podrán aplicar a una ecuación o a sistemas de ecuaciones diferenciales: EDO C.I. Tiempo

PROBLEMAS DE n-ésimo ORDEN Se podrán aplicar a problemas de n-ésimo orden con condición inicial, de la forma: Para lo que se debe transformar el P.V.I. dado, en un sistema equivalente, introduciendo las variables: y1 = y y2 = y′ y3 = y′′ ... yn = y (n-1) = dn-1/ dt n-1

PROBLEMAS DE n-ésimo ORDEN Derivando miembro a miembro cada una de estas últimas ecuaciones con respecto a t, se obtiene el sistema equivalente: y1′ = y′ = y2 y2′ = y′′ = y3 y3′ = y′′′ = y4 ... yn′ = f(t,y1,y2,y3,....,yn) Condición inicial y1(t0)=y1,0 , y2(t0)=y2,0 , ..., yn(t0)=yn,0

EJEMPLO: EDO de orden 2 y1 = θ y2 = θ′ y1′ = y2 y2′ = θ′′ = -sin(θ) C.I. Tiempo y1 = θ y2 = θ′ y1′ = y2 y2′ = θ′′ = -sin(θ) Condiciones iniciales: y1(0) = 1, y2(0) = 1 Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Método de Euler Dada la siguiente ecuación diferencial ordinaria: Del teorema de Taylor se sabe que: Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso. donde y′(ti) es la ecuación diferencial evaluada en ti y yi. Esta estimación puede sustituirse en la ecuación: yi+1 = yi + f(ti, yi) h Conocido como método de Euler.

Método de Euler y t yi+1 = yi + f(ti, yi)h Predicho Error Verdadero y’ = pendiente = f(ti,yi) Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso. t ti ti+1 Tamaño de paso, h

EJEMPLO:EDO de orden 1 EDO C.I. Tiempo Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso. % Matlab asume función derivada con respecto a la 1a variable function yprime = myf(t,y) yprime = -y -5*exp(-t)*sin(5*t);

Programa método de Euler function [t,y] = euler_1(fun,ti,tmax,h,ci) % METODO DE EULER % fun: función programada % ti : tiempo inicial % tmax : tiempo final % h : intervalo de tiempo % ci : condiciones iniciales for n=1:length(ci) Y(n,1) = ci(n);%condicion inicial end T(1) = ti; %tiempo inicial fin=(tmax-ti)/h; for n=1:fin Y(:,n+1)=Y(:,n)+h*feval(fun,T(n),Y(:,n)); T(n+1)=T(n)+h; t=T'; y=Y'; plot(t,y) Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Programa método de Euler % METODO DE EULER % fun: función programada ti=0; % Tiempo inicial tmax=3; % Tiempo final ci=1; % Condición inicial h=0.01; % Intervalo de tiempo [t,y] = euler_1('myf',ti,tmax,h,ci) % Solución exacta ye = exp(-t).*cos(5*t); hold on plot(t,ye,'r*') % grafico de la solución Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Fórmula de predictor-corrector o Método de Heun Es mejorada porque se puede demostrar que el error total de la fórmula es O(h2), mientras que en Euler es O(h). O sea, la fórmula de Euler-mejorada o Heun es de orden dos. En la fórmula de Euler mejorada se obtiene una mayor exactitud pero un trabajo de cálculo mayor, ya que para ir de tk a tk+1 hay que evaluar dos veces la función f(t,y). Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

y y’i =f(ti, yi) t ti ti+1 Predictor y t Corrector ti ti+1 Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso. t Corrector ti ti+1

Métodos de Runge-Kutta (RK) El método de RK se fundamenta en el método de la serie de Taylor. Existen métodos de RK de diferentes ordenes, el orden del método lo define el orden de la derivada en el término de la serie de Taylor donde ésta se corte. Existen muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma generalizada de la ecuación: yi+1 = yi + f(xi,yi,h)h donde f(xi,yi,h) es conocida como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo. f = a1k1+ a2k2 +…+ ankn donde las a son constantes y las k son relaciones de recurrencia, esto es, k1 aparece en la ecuación para k2, la cual aparece en la ecuación para k3, etc. n = 1, es el método de Euler. n = 2, es el método de Heun. Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Método de RK de segundo orden La versión de segundo orden para la ecuación de RK es: yi+1 = yi + (a1k1+a2k2)h donde k1 = f(xi,yi) k2 = f(xi+p1h, yi+q11k1h) Los valores de a1, a2, p1 y q11 son evaluados al igualar el término de segundo orden de la ecuación de RK con la expansión de la serie de Taylor. Desarrollando tres ecuaciones para evaluar las cuatro incógnitas: a1+a2=1 a2p2= ½ a2q11 = ½ Como se tienen tres ecuaciones con cuatro incógnitas se tiene que suponer el valor de una de ellas. Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Método de RK de segundo orden Suponiendo que se especificó un valor para a2, se puede resolver de manera simultánea la ecuación de RK: a1 = 1 – a2 p1 = q11 = 1/ (2a2) Como se puede elegir un número infinito de valores para a2, hay un número infinito de métodos RK de segundo orden. Cada versión podría dar exactamente los mismos resultados si la solución de la EDO fuera cuadrática, lineal o una constante Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Método de RK de segundo orden a2 = ½: Método de Heun con un solo corrector, donde. yi+1 = yi + (k1/2+k2/2)h k1 = f(xi, yi) k2 = f(xi+h, yi+k1h) a2 = 1: Método del punto medio. yi+1 = yi + k2h k2 = f(xi+h/2, yi+k1h/2) a2 = 2/3: Método de Ralston. yi+1 = yi + (k1/3+2k2/3)h k2 = f(xi+3h/4, yi+3k1h/4) Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Método de RK de tercer orden Siguiendo el mismo razonamiento para n = 3. El resultado es seis ecuaciones con ocho incógnitas, por lo tanto se deben suponer dos valores con antelación para poder desarrollar el sistema de ecuaciones. Una versión ampliamente usada es: yi+1 = yi + 1/6 (k1 + 4k2 + k3)h k1 = f(xi, yi) k2 = f(xi+h/2, yi+k1h/2) k3 = f(xi+h, yi – k1h + 2k2h) Si la derivada es solo una función de x, el método se reduce a la regla de Simpson 1/3. Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Método de RK de cuarto orden Es el más popular de los métodos RK. También cuenta con infinitas versiones. La más usada es: yi+1 = yi + 1/6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)h k1 = f(xi, yi) k2 = f(xi+h/2, yi+k1h/2) k3 = f(xi+h/2, yi + k2h/2) k4 = f(xi+h, yi + k3h) Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Programa método de R-K o4 function [t,y] = rko4_1(fun,ti,tmax,h,ci) % METODO DE Runge-Kutta de orden 4 % [t,y] = rko4_1(fun,ti,tmax,h,ci) % fun: nombre del archivo con la función programada % ti : tiempo inicial % tmax : tiempo final % h : intervalo de tiempo % ci : condiciones iniciales for n=1:length(ci) Y(n,1) = ci(n);%condicion inicial end T(1) = ti; %tiempo inicial fin=(tmax-ti)/h; for n=1:fin k1 = h*feval(fun,T(n),Y(:,n)); k2 = h*feval(fun,T(n)+(0.5*h),Y(:,n)+0.5*k1); k3 = h*feval(fun,T(n)+(0.5*h),Y(:,n)+0.5*k2); k4 = h*feval(fun,T(n)+h,Y(:,n)+k3); Y(:,n+1) = Y(:,n) + (1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); T(n+1)=T(n)+h; t=T'; y=Y'; plot(t,y) Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Programa método de R-K o4 % METODO R-K o4 % fun: función programada ti=0; % Tiempo inicial tmax=3; % Tiempo final ci=1; % Condición inicial h=0.01; % Intervalo de tiempo [t,y] = rko4_1(‘myf’,ti,tmax,h,ci) % Solucion exacta ye = exp(-t).*cos(5*t); hold on plot(t,ye,'r*') % grafico de la solución function yprime = myf(t,y) yprime = -y -5*exp(-t)*sin(5*t); Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

APLICANDO MATLAB ODE45: Nonstiff Explicit Runge-Kutta pair, order 4 and 5 [T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0) TSPAN = [T0 TFINAL] integrates the m system of differential equations y' = f(t,y) from time T0 to TFINAL with initial conditions Y0. Function ODEFUN(T,Y) must return a column vector corresponding to f(t,y). To obtain solutions at specific times T0,T1,...,TFINAL (all increasing or all decreasing), use TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL]. Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

APLICANDO MATLAB % Solución de la función myf tspan = [0 3]; %Intervalo de la variable independiente yzero = 1; %Condicion inicial ode45('myf',tspan,yzero) % solución con grafico [t,y] = ode45('myf',tspan,yzero); % solución con datos plot(t,y,'r*--') % grafico de la solución xlabel t, ylabel y(t) % Solucion exacta ye = exp(-t).*cos(5*t); hold on line(t,ye) Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

EJEMPLO: EDO de orden 2 y1 = θ y2 = θ′ y1′ = y2 C.I. Tiempo y1 = θ y2 = θ′ y1′ = y2 y2′ = θ′′ = -sin(θ) = -sin(y1) Condiciones iniciales: y1(0) = 1, y2(0) = 1 Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

FUNCION EN MATLAB function yprime = pend(t,y) yprime = [y(2); -sin(y(1))]; Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Ejemplo: 1/2 % Solución de la funcion pend tspan = [0 10]; % %Intervalo de la variable independiente yazero = [1; 1]; % condiciones iniciales a ybzero = [-5;2]; % condiciones iniciales b yczero = [5; -2];% condiciones iniciales c [ta,ya] = ode45('pend',tspan,yazero); % solucion con CI a [tb,yb] = ode45('pend',tspan,ybzero); % solucion con CI b [tc,yc] = ode45('pend',tspan,yczero); % solucion con CI c plot(ta,ya) % grafico de la solucion con CI a plot(tb,yb) % grafico de la solucion con CI b plot(tc,yc) % grafico de la solucion con CI c Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Ejemplo: 2/2 % Grafico del campo vectorial [y1,y2] = meshgrid(-5:.5:5,-3:.5:3); Dy1Dt = y2; Dy2Dt = -sin(y1); quiver(y1,y2,Dy1Dt,Dy2Dt) hold on plot(ya(:,1),ya(:,2),yb(:,1),yb(:,2),yc(:,1),yc(:,2)) axis equal, axis([-5 5 -3 3]) xlabel y_1(t), ylabel y_2(t) hold off Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Sistemas de EDO Sistema EDO C.I. Tiempo Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso. Parametros: a = 0.2, b = 0.2, c = 5, 2.5, 1, 0.5

FUNCIÓN EN MATLAB function yprime = rossler(t,y) % ROSSLER: Rossler system a=0.2; b=0.2; c=2.5; yprime = [-y(2)-y(3); y(1)+a*y(2); b+y(3)*(y(1)-c)]; Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

APLICANDO MATLAB % Solución de la función Rossler tspan = [0,100]; % Intervalo de la variable independiente yzero = [1;1;1]; % Condición inicial ode45('rossler',tspan,yzero); % solucion con grafico [t,y] = ode45('rossler',tspan,yzero); % solución con datos plot(t,y(:,1)) % Grafico solución de y1 plot(t,y(:,1),t,y(:,2)) % Grafico solución de y1,y2 plot(t,y(:,1),t,y(:,2),t,y(:,3)) % grafico de la solución de y1,y2,y3 plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) % grafico de la solución Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

OTROS MÉTODOS Runge-Kutta-Fehlberg Paso adaptativo: METODO DE PASO VARIABLE Métodos de Adams-Bashforth: METODOS MULTIPASOS EXPLÍCITOS Métodos Adams-Moulton: METODOS MULTIPASOS IMPLÍCITOS METODOS PREDICTOR-CORRECTOR Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

EDO RIGIDAS Problema de valor inicial Natural- homogénea Forzada Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso. Natural- homogénea Forzada

Solución analítica al problema Para la solución de numérica de problemas rígidos se usan métodos absolutamente estables (implícitos). Un ejemplo es el método implícito del trapecio: Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Solución en Matlab function uprima=rigida(t,x) uprima=[9*x(1)+24*x(2)+5*cos(t)-1/3*sin(t);... -24*x(1)-51*x(2)-9*cos(t)+1/3*sin(t)] ************************************************ tspan = [0 3]; %Intervalo de la variable independiente uzero = [4/3 2/3]; %Condicion inicial [t,u] = ode23s('rigida',tspan,uzero); % solucion con datos plot(t,u) % grafico de la solucion % Solucion exacta hold on; ue1 = 2*exp(-3*t)-exp(-39*t)+1/3*cos(t); ue2 = -exp(-3*t)+2*exp(-39*t)-1/3*cos(t); plot(t,ue1,'r*',t,ue2,'r*') Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

Solución en Matlab Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

APLICANDO MATLAB ode45 is based on an explicit Runge-Kutta (4,5) formula, the Dormand-Prince pair. ode23 is an implementation of an explicit Runge-Kutta (2,3) pair of Bogacki and Shampine. ode113 is a variable order Adams-Bashforth-Moulton PECE solver. It is a multistep solver. ode15s is a variable order solver based on the numerical differentiation formulas, NDFs. (also known as Gear's method) is a multistep solver Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

APLICANDO MATLAB ode23s is based on a modified Rosenbrock formula of order 2. it is a one-step solver ode23t is an implementation of the trapezoidal rule using a "free" interpolant. ode23tb is an implementation of TR-BDF2, an implicit Runge-Kutta formula,trapezoidal rule and backward differentiation Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

APLICANDO MATLAB ODE23: Nonstiff Explicit Runge-Kutta pair, order 2 and 3 ODE45: Nonstiff Explicit Runge-Kutta pair, order 4 and 5 ODE113: Nonstiff Explicit linear multistep, orders 1 to 13 ODE15S: Stiff Implicit linear multistep, orders 1 to 5 ODE23S: Stiff Modified Rosenbrock pair (one-step), orders 2 and 3 ODE23T: Mildly stiff Trapezoidal rule (implicit), orders 2 and 3 ODE23TB: Stiff Implicit Ringe-Kutta type algorithm, orders 2 and 3 Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.

APLICANDO MATLAB Para obtenerla formula de Euler se puede usar la forma integral de la solucion de la ED o la expansión con el teorema de Taylor, asi se pueden plantear con formulas de integracion numerica o diferenciacion numerica. La figura muestra como la solucion numerica se esta desplazando a una solucion diferente en cada paso.