Rotación y reflexión en el plano MT-22 PPTCES024MT22-A15V1 Clase Rotación y reflexión en el plano

Aprendizajes esperados Aplicar la rotación de puntos y figuras en el plano cartesiano con respecto al origen. Aplicar la rotación de puntos y figuras en el plano cartesiano con respecto a un punto distinto del origen. Aplicar la simetría axial de puntos y figuras con respecto a un eje de simetría. Aplicar la simetría axial de puntos y figuras con respecto a los ejes coordenados. Aplicar simetría central de puntos y figuras con respecto al origen y con respecto a un punto distinto del origen. Aplicación de la composición de transformaciones isométricas.

Pregunta oficial PSU 39. Al cuadrado PQRS de la figura 3, con dos lados paralelos al eje x y centro en el origen O del sistema de ejes coordenados, se le aplica una o varias rotaciones en 90° alrededor del origen y/o reflexiones con respecto al eje x. ¿En cuál de las siguientes opciones la figura NO puede ser la imagen de PQRS después de aplicar una o varias de estas transformaciones isométricas? Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.

Rotación Simetría o reflexión Composición de transformaciones isométricas

1. Rotación < Definición Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de rotación en un ángulo determinado. O: centro de rotación < O La rotación es positiva si es en sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj).

1. Rotación Rotación, respecto al origen Si el punto A (x, y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270° o en 360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla: 90° 180° 270° 360° A(x, y) Punto Ángulo (–y, x) (–x, –y) (y, –x) (x, y) Ejemplo: 90° 180° 270° 360° A(5, –8) Punto Ángulo (8, 5) (–5, 8) (–8, –5) (5, –8)

< 1. Rotación Ejemplo: Si el punto A (2, 3) gira con respecto al origen en 90°, se transforma en el punto A´(– 3, 2). 1 2 3 4 –1 –2 –3 5 A < A´

1. Rotación Ejemplo: Al rotar el punto A(-2,5) en 180°, en sentido positivo y con centro en el origen éste se transforma en el punto A´(2,-5).

1. Rotación Ejemplo: Al rotar el punto A(-2,5) en 270°, en sentido positivo y con centro en el origen, éste se transforma en el punto A´(5, 2).

1. Rotación > < Rotación, respecto a un centro Ejemplo: El cuadrado ABCD de la figura se transforma en el cuadrado A´B´C´D´ al rotarlo en 90° (sentido negativo), entorno al centro O.   > < Una rotación negativa (o en sentido horario) de 90º equivale a una rotación positiva(o antihoraria) 270º, y viceversa.

1. Rotación Rotación, respecto a un punto distinto del origen ¿Cómo resolverías la primera parte del problema? El punto B(5, 4) se rota en torno al punto A(1, 1) en 90°, obteniéndose el punto B’. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B’? 1 2 3 4 –1 –2 –3 5 B´ B A 5 Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.

1. Rotación Rotación, respecto a un punto distinto del origen Se puede trasladar el punto A al origen utilizando el vector T(– 1, – 1). Al aplicarlo a B, quedaría en las coordenadas (4,3). Luego, se rota en 90°, quedando B en las coordenadas (– 3,4). 1 2 3 4 –1 –2 –3 5 B´ B A 5 Para responder a la pregunta, aplicamos el vector T´(1,1), quedando B en las coordenadas (– 2,5).

2. Simetría o reflexión Definición Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura, produce el efecto de un espejo (refleja la figura).

2. Simetría o reflexión Tipos de simetría Simetría axial: reflexión respecto de un eje. A A´ M Eje de Simetría

2. Simetría o reflexión Tipos de simetría Simetría central: reflexión respecto a un punto. O A A´ O : centro de simetría

2. Simetría o reflexión Simetría axial en el plano cartesiano La simetría axial, corresponde a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano, otro A’, tal que la recta que los une, es perpendicular a una recta fija llamada eje de simetría. y 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 eje de simetría: x = 1 M A A’ 3 unidades 3 unidades x AA’ es perpendicular al eje de simetría AM MA’

2. Simetría o reflexión Simetría axial en el plano cartesiano Ejemplo 1: Al aplicar una simetría axial al lápiz de la figura, respecto al eje de las ordenadas (y), el resultado es el siguiente: y 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 A A’ 4 unidades 4 unidades x

2. Simetría o reflexión Simetría axial en el plano cartesiano Ejemplo 2: Al aplicar una simetría axial a la imagen de la figura, respecto al eje de las abscisas (X), el resultado es el siguiente: y 1 2 3 4 -1 -2 -3 A 3 unidades x -1 3 unidades -2 -3 A’

2. Simetría o reflexión Simetría central en el plano cartesiano La simetría central corresponde a una transformación isométrica de modo que el simétrico de un punto A, con respecto a un punto O, es A`, donde y A` pertenece a la recta . Ejemplo: y 3 1 2 4 -1 -2 -3 5 C B A O A´ B´ x C´ La simetría central equivale a una rotación de 180º con respecto a un punto.

3. Composición Composición de transformaciones isométricas El artista clave que representa al tema de isometrías, es Escher (1898). Para él la escuela era una pesadilla, excepto las clases de dibujo. Sin embargo, el carácter matemático de sus obras ha hecho que sea uno de los artistas más populares en los entornos científicos, especialmente matemáticos e informáticos. Algunas de sus obras Curiosamente, sus conocimientos matemáticos siempre fueron muy limitados. Muchas de las conclusiones gráficas y matemáticas a las que llegó, que le permitirían realizar algunos de sus trabajos, tuvo que descubrirlas por sí mismo. “Jinetes” “Peces y barcos” “Mariposas”

3. Composición Composición de transformaciones isométricas ¿Cómo lo hizo? 180° Realizó rotaciones de 60° alrededor de un centro “O”.

¿Cómo crear una imagen para teselar? 3. Composición Ejemplo de composición: Teselación Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre completamente una superficie plana, de manera que no queden espacios y no se superpongan las figuras. ¿Cómo crear una imagen para teselar? Podemos usar polígonos regulares como el cuadrado, triángulo equilátero y hexágono regular, los que permiten cubrir el plano.

3. Composición Además, mediante transformaciones isométricas, se pueden descubrir nuevos diseños para teselar. Ejemplo: 4° 1° 2° 3° 5° Aplicando simetría y traslación… …podemos cubrir el Plano (Teselar).

3. Composición Composición en el plano cartesiano Ejemplo: Si el punto A (– 2,3) es parte de la mariposa de la figura, ¿cuáles serán sus nuevas coordenadas luego de aplicar una rotación positiva de 90° respecto al origen, y a continuación una traslación T(5,3)? 1 2 3 4 -1 -2 -3 x y A

3. Composición Composición en el plano cartesiano 1° Al aplicar una rotación positiva de 90° respecto al origen resulta: A(– 2,3) A´(– 3, – 2) y 1 2 3 4 -1 -2 -3 A A´´ x A´ 2° Al aplicar el vector traslación T(5,3) resulta: A´(– 3, – 2) A´´(2,1)

Pregunta oficial PSU 39. Al cuadrado PQRS de la figura 3, con dos lados paralelos al eje x y centro en el origen O del sistema de ejes coordenados, se le aplica una o varias rotaciones en 90° alrededor del origen y/o reflexiones con respecto al eje x. ¿En cuál de las siguientes opciones la figura NO puede ser la imagen de PQRS después de aplicar una o varias de estas transformaciones isométricas? ALTERNATIVA CORRECTA A Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.

Transformaciones Isométricas Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 A Transformaciones Isométricas Comprensión 2 D 3 B Aplicación 4 5 C ASE 6 7 8 9 10 11 12

Transformaciones Isométricas Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 C Transformaciones Isométricas ASE 14 D Comprensión 15 E 16 17 B 18 19 20 21 22 A Aplicación 23 24 25

Síntesis de la clase Rotación Simetría o Reflexión Composición Respecto al origen Respecto a un punto distinto del origen Simetría o Reflexión Composición Axial Central

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