Lógica proposicional Docente: Edgar Duarte

QUE ES LA LÓGICA? El sentido ordinario de la palabra “lógica” se refiere a lo que es congruente, ordenado, bien estructurado. Lo ilógico es lo mismo que incongruente, desordenado, incoherente. Esto se aplica tanto a las personas como a las situaciones y a los pensamientos.

QUE ES LA LÓGICA? La palabra lógica nos indica ya en su origen etimológico (logos = conocimiento, sabiduría) el sentido básico de esta ciencia, que se eleva hasta el espíritu y el pensamiento, la razón y la inteligencia. De esta manera definimos nominalmente la lógica como: La ciencia del pensamiento y la razón.

PARA QUE SIRVE LA LÓGICA? La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisión y creación de programas (software).

PARA QUE SIRVE LA LÓGICA? En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado.

PARA QUE SIRVE LA LÓGICA? La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos, innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

LÓGICA PROPOSICIONAL La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia la formación de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y la inferencia de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.

PROPOSICIONES Una proposición es una afirmación que comunica una idea verdadera o falsa. Ejemplos: Determinar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones: El murciélago es un animal mamífero. Es una proposición porque se puede afirmar si el murciélago es o no es un animal mamífero. ¿Cuál es tu nombre? No es una proposición ya que no se puede afirmar si la pregunta es verdadera o falsa.

PROPOSICIONES Una proposición es una afirmación que comunica una idea verdadera o falsa. Ejemplos: (continuación…) Determinar cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones: Hola! No es una proposición, es una exclamación que indica saludo, por lo tanto, no se puede determinar su valor de verdad. Colombia No es una proposición, es un nombre y no tiene valor de verdad.

PROPOSICIONES CONSIDERACIONES: Las preguntas, ordenes y exclamaciones no son consideradas proposiciones porque no se puede afirmar que son verdaderas o falsas. Para nombrar proposiciones, habitualmente, se utilizan letras minúsculas. Las más empleadas son p, q, r, s y t, aunque no son las únicas. Cuando se establece si una proposición es verdadera o falsa se está determinando su valor de verdad.

PROPOSICIONES Ejemplos: Escribir la expresión como una proposición. Luego, determinar su valor de verdad: Michael Phelps fue el campeón de natación en los Juegos Olímpicos de Beijíng 2008. Para escribir la expresión como una proposición, se le asigna una letra que la represente: r: Michael Phelps fu el campeón de natación en los Juegos Olímpicos de Beijing 2008. (Utilizamos en este caso la letra “r”) El valor de verdad es decir si la proposición es verdadera o falsa: Es una proposición verdadera ya que, en efecto, Phelps fue quien ganó más medallas en este deporte.

PROPOSICIONES Ejemplos: Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones: q: España es el campeón mundial de fútbol del año 2010. Esta proposición es verdadera, pues España ganó la final de fútbol en el año 2010. t: Junio es el quinto mes del año. La proposición es falsa. Al enumerar los meses se puede apreciar que junio es el sexto mes del año y no el quinto. r: 2 elevado a la 3 es 8. 23= 8, la proposición es verdadera porque 2 X 2 X 2 = 8.

PROPOSICIONES SIMPLES. Una proposición simple es una afirmación conformada por una sola oración gramatical. Ejemplo: La proposición, r: Un triángulo equilátero es aquel cuyos lados tienen la misma medida Es una proposición simple, puesto que está conformada por una sola oración. La proposición, q: Cinco es un número impar y también es un número primo. No es una proposición simple porque está formada por dos oraciones.

NEGACIÓN DE PROPOSICIONES SIMPLES. Para negar una proposición simple se le antepone la expresión “no es verdad que” o se le incluye un “no” para que cambie su significado a exactamente lo contrario. El símbolo que indica la negación de una proposición es “~”, se usa así: ~p, y se lee no p. Ejemplo: Cuando se niega una proposición simple se cambia su valor de verdad. Es decir, algo que era verdadero se vuelve falso y algo quo era falso se convierte en verdadero. q: Bogotá está 1600 metros más cerca de las estrellas Se niega la proposición q como ~q y se Lee no q es decir, “no es verdad que Bogotá está 2.600 metros más cerca de las estrellas”, o, Bogotá no está 2.600 metros más cerca de las estrellas

PROPOSICIONES COMPUESTAS Una proposición compuesta es una afirmación conformada por dos o más proposiciones simples que se conectan usando las palabras “y”, “o”, “si... entonces”, “si y solo si”. Es importante tener en cuenta que en una proposición compuesta se combinan las ideas de las proposiciones simples que la forman para dar origen a una nueva idea más elaborada. Ejemplo: Así que si se tienen dos proposiciones simples como: p: Simón es un hombre trabajador. q: Es una persona amigable. Se puede generar una proposición compuesta que integre las dos ideas que diga: Simón es un hombre trabajador y es una persona amigable. La palabra que se emplea para conectar las dos proposiciones simples es “y”.

CONECTIVOS LÓGICOS Los conectivos lógicos o conectores son palabras que vinculan las ideas expresadas en dos o más proposiciones simples, para comunicar algo más complejo. Los conectivos lógicos están identificados con un símbolo especial y un nombre que representan la función que cumplen.

CONECTIVOS LÓGICOS p → q r ↔ s Ejemplos: Escribir las siguientes proposiciones compuestas usando los símbolos lógicos: Si la figura es un cuadrilátero entonces tiene cuatro lados. Asignando p: La figura es un cuadrilátero q: Tiene cuatro lados La representación sería: p → q Irás al paseo si y sólo si te portas bien en clase. Asignando r: Irás al paseo s: Te portas bien en clase. La representación sería: r ↔ s

CONJUNCIÓN. Ejemplo: si p, q son las proposiciones: La conjunción es una operación lógica que usa el conectivo “y” relacionar dos proposiciones simples y construir una proposición compuesta para simbolizar la conjunción de dos proposiciones r y s se escribe r ʌ s y se lee r y s. Cuando se establece la conjunción entre dos proposiciones p y q, se da a entender que tanto la idea que expresa p como la que expresa q deben cumplirse (inclusión). En la conjunción p ʌ q es importante tener en cuenta que la proposición compuesta es verdadera solo si p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa. Ejemplo: si p, q son las proposiciones: p: Cinco es un número primo. q: Es impar. Se escribe p ʌ q y se lee: Cinco es un número primo y es impar.

DISYUNCIÓN. La disyunción de dos proposiciones simples se obtiene usando el conectivo lógico “o”. Por ejemplo, si r y s son las proposiciones: r: Seis es un número mayor que cinco. s: Seis es un número menor que tres. Es importante tener en cuenta que la proposición r V s es falsa, únicamente cuando las dos proposiciones r y s, son falsas. Se escribe r V s, y se lee: Seis es un número mayor que cinco o seis es un número menor que tres.

IMPLICACIÓN. La implicación de dos proposiciones simples se obtiene utilizando el conectivo lógico “si…entonces”. La implicación entre dos proposiciones simples t y k se escribe t → k y se lee si t entonces k. Por ejemplo, si t y k son las proposiciones: t: Francisco estudia. k: Aprobará el año. Es importante tener en cuenta que entre dos proposición t y k es falsa, solo cuando t es verdadero y k es falsa. Se escribe t → k , y se lee: Si Francisco estudia entonces aprobará el año

Equivalencia. Por ejemplo, si m y v son las proposiciones: La equivalencia entre dos proposiciones simples se establece utilizando el conectivo lógico “si y solo sí”. Para representar la equivalencia entre dos proposiciones m y v se escribe m → v y se lee m si y solo si v. Por ejemplo, si m y v son las proposiciones: m: Van de paseo por el eje cafetero. v: Ahorran todo el año. La equivalencia entre dos proposiciones simples es verdadera cuando ambas son verdaderas o cuando ambas son falsas. Se escribe t ↔ k , y se lee: Van de paseo por el eje cafetero si y solo si ahorran todo el año.

PARA FINALIZAR Para identificar el valor de verdad de proposiciones compuestas, deben tener en cuenta las indicaciones dadas: Negación: Cuando se niega una proposición simple se cambia su valor de verdad. Conjunción entre p ʌ q es importante tener en cuenta que la proposición compuesta es verdadera solo si p y q son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa. Disyunción: Es importante tener en cuenta que la proposición r V s es falsa, únicamente cuando las dos proposiciones r y s, son falsas. Implicación: Es importante tener en cuenta que entre dos proposición t y k es falsa, solo cuando t es verdadero y k es falsa. Equivalencia entre dos proposiciones simples es verdadera cuando ambas son verdaderas o cuando ambas son falsas.

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