FIUBA MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA Juan C. Fernandez 4-d

FIUBA Para aplicar los modelos circuitales de interferencia conducida o inducida en BF se requiere conocer los parámetros circuitales del acoplamiento y de los sistemas (culpable y víctima) involucrados. En un sistema complejo de conductores cargados y que transportan corriente, los parámetros circuitales se definen mediante matrices de capacidad – liga- da a la distribución de cargas - y de impedancia (resistencia+inductancia) – ligada a la distribución de corrientes. Estos parámetros serán en general dependientes de la frecuencia y no nece- sariamente coincidirán con el valor nominal de los dispositivos o se deberán asociar parámetros circuitales a conexiones, trazas y otros elementos físicos del sistema que no figuran como elementos circuitales en los planos de diseño. En esta clase veremos el esquema teórico general y algunos algoritmos numé- ricos para determinar estas matrices. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF

FIUBA Comportamiento capacitivo Consideremos un conjunto de M conductores ideales sumergidos en un medio dieléctrico sin pérdidas. Cada conductor es un volumen equipotencial de potencial  i ( i = 1,2,…,M ) y tiene una carga neta Q i. Es posible demostrar que, en notación matricial: [Q] = [C] [  ]con[Q] = [Q 1 Q 2 … Q M ] T [  ] = [  1  2 …  M ] T donde [C] es la matriz de capacidades: Los coeficientes de la diagonal principal C ii suelen llamarse coeficientes de capacidad o auto-capacidades y los coeficientes fuera de la diagonal prin- cipal C ij ( i  j ) se denominan coeficientes de inducción o capacidades mutuas. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF

FIUBA Comportamiento capacitivo (cont.) [Q] = [C] [  ]con[Q] = [Q 1 Q 2 … Q M ] T [  ] = [  1  2 …  M ] T Propiedades: la matriz es simétrica ( C ij = C ji ), los coeficientes de capacidad (autocapacidades) son positivos ( C ii > 0 ) los coeficientes de inducción (capacidades mutuas) son no positivos ( C ij  0 ) para i  j. La columna j-ésima de [C] puede calcularse colocando el conductor j-ésimo a potencial unitario y todos los otros a cero. Entonces C ij es la carga que ad- quiere en estas circunstancias el conductor i-ésimo. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF

FIUBA Comportamiento capacitivo (cont.) [Q] = [C] [  ]con[Q] = [Q 1 Q 2 … Q M ] T [  ] = [  1  2 …  M ] T Habitualmente el problema es que se conocen los potenciales  i de los con- ductores pero no se conoce la distribución de carga sobre ellos. Además de la carga total Q i sobre cada conductor, es necesario hallar la dis- tribución superficial  i sobre cada conductor, ya que en general la distribu- ción de carga no será uniforme. El potencial electrostático y la distribución de carga sobre los conductores del conjunto están ligadas por la ecuación integral de Poisson: donde la integral se extiende a todas las superficies conductoras: MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF

FIUBA Comportamiento capacitivo (cont.) Si se divide a los conductores en pequeños elementos de superficie  S i, pode- mos considerar que sobre ellos la densidad de carga es uniforme. Tendremos entonces N elementos que se distribuyen sobre los conductores originales en la forma: n = 1, 2, …, n 1  conductor 1 n = n 1 +1, n 1 +2,…, n 1 + n 2  conductor n = N-n M +1,…, N  conductor M Entonces podemos reescribir la integral de Poisson como: donde es el área y la densidad de carga asociadas al i-ésimo elemento, situado en la posición. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF

FIUBA Comportamiento capacitivo (cont.) Si tomamos ahora el punto campo sobre un elemento cualquiera j queda: Este es un conjunto de N ecuaciones con N incógnitas (las densidades de car- ga ), que puede escribirse en forma matricial de la manera: [  ] = [P] [  ]con[  ] = [  1  2 …  N ] [  ] = [  1  2 …  N ] Este sistema tiene la solución: [  ]= [P] -1 [  ] Determinada la distribución de carga sobre los conductores, se puede calcu- lar la carga neta sobre ellos como: donde la suma se extiende a los elementos que conforman al i-ésimo conductor. Conocidas las cargas se determinan las capacidades propias y mutuas con la ecuación original:[ Q] = [C] [  ]. MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF

FIUBA Comportamiento capacitivo (cont.) Significado de las coeficientes de la matriz de capacidad Consideremos un grupo de tres conductores. La matriz de capacidad correspondiente es:  [Q] = [C] [  ] MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF  Podemos interpretar los coeficientes de la matriz po- niendo cada conductor a potencial no nulo por vez. Por ejemplo, si sólo el conductor 1 está a un potencial V 1 respecto de tierra y los otros a cero (conectados a tierra): donde hemos usado el hecho que los coeficientes diago- nales son positivos y los fuera de la diagonal son no po- sitivos. Se ve que (si V 1 > 0 ) el cuerpo 1 acumula carga positiva y los otros cargas negativas.  1 Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3

FIUBA Comportamiento capacitivo (cont.) Significado de las coeficientes de la matriz de capacidad (cont.) MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF  1 Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3 Entonces habrá líneas de campo que van desde el cuerpo 1 hacia tierra (representadas por la auto- capacidad C 11 ), líneas de campo que van desde el cuerpo 1 hacia el cuerpo 2 (representadas por la capacidad parcial C 12 ) y líneas de campo que van desde el cuerpo 1 hacia el cuerpo 3 (representadas por la capacidad parcial C 13 ). Cuando los tres cuerpos también admiten un potencial no nulo, presentarán líneas de campo con los otros conductores y con tierra. En general el sistema entonces puede representarse por el circuito de la figura. C 11 C 22 C 33 C 13 C 12 C

FIUBA Comportamiento capacitivo (cont.) Significado de las coeficientes de la matriz de capacidad (cont.) MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF En el caso de sólo dos conductores, la representación será la de la figura. Se ve que en general la modelación de dos conductores requiere tres capacitores y no sólo uno como es el modelo elemental. C 11 C 22 C Podemos relacionar la capacidad de un capacitor con los coeficientes de la matriz de capacidad. En este caso los dos electrodos tienen cargas iguales y opuestas, con lo que podemos escribir para la matriz de capacidades: de donde:

FIUBA Comportamiento capacitivo - FASTCAP MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF FASTCAP es un software desarrollado en el MIT en la década del 90 para calcular la matriz de capacidades. Resuelve el sistema: [  ]= [P] -1 [  ] donde: En lugar de calcular la matriz mediante esta ecuación, FASTCAP usa un desarrollo multipolar del término para acelerar el cálculo. Cada elemento de superficie de cada conductor del conjunto se denomina “panel” y es una superficie plana rectangular o triangular. Se debe ingresar la geometría de los paneles, la/s permitividades de los distintos subespacios dieléctricos, el orden máximo deseado del desarrollo multipolar y el criterio de particionamiento de paneles para asegurar que en cada (sub)panel la carga sea aproximadamente uniforme. El programa devuelve un archivo de texto con los elementos de la matriz de capacidades entre conductores del conjunto.

FIUBA Comportamiento inductivo MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF La extracción de los parámetros inductivos de un sistema se basa en describir al sistema como un circuito multipuerta y obtener la matriz de impedancia dependientes de la frecuencia de este circuito. Para hacer esto es primero necesario establecer las ecuaciones de los campos y corrientes en el circuito. En el caso cuasi-estático en el dominio de la frecuencia, la circulación de una corriente armónica crea un potencial vectorial magnético dado por: Este potencial vectorial, junto con el potencial escalar generado por la distribución de carga, da lugar a un campo eléctrico: Dentro de los conductores, el campo eléctrico está ligado a la densidad de corriente a través de la ley de Ohm, y en el caso cuasi-estático la corriente satisface la ecuación  j = 0, con lo que tenemos finalmente:

FIUBA Comportamiento inductivo MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF Estas ecuaciones ligan la distribución de potencial y la distribución de corrien- tes en el sistema. En el método de momentos usado en FastHenry se divide el recinto de integra- ción en elementos filamentarios de corriente. Se supone que en cada filamento la corriente es uniforme. La división de con- ductores gruesos en filamentos permite tener en cuenta la redistribución de corriente causada por los efectos de proximidad y de efecto pelicular. Cada filamento será un cilindro de área transversal a i y longitud l i ( i = 1,2,…,N ). Sobre ese filamento habrá una corriente, donde e i es un vector unitario que define la dirección y sentido de la corriente en el filamento.

FIUBA Comportamiento inductivo MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF Con la filosofía del método de momentos de especificar las incógnitas sobre la estructura como una superposición de funciones ortogonales, podemos escribir: donde I j es la corriente en el filamento, e j su versor y w j (r) es una función de peso que se anula fuera del filamento en cuestión y vale 1/a j dentro. a j es la sección transversal del filamento. La ecuación integral anterior puede ahora escribirse como:

FIUBA Comportamiento inductivo MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF Multiplicamos escalarmente la ecuación integral por w i (r) e i e integramos sobre el todo el volumen de interés: Usamos la ortogonalidad de las funciones de peso w i (r) : donde  i es la tensión sobre los extremos del i-ésimo filamento.

FIUBA Comportamiento inductivo MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF Esta ecuación puede escribirse en forma matricial como: [Z] [I] = [  ]con[I] = [I 1 I 2 … I N ] T [  ] = [  1  2 …  N ] T y la matriz de impedancias: A este sistema lineal debe agregarse la llamada condición nodal, que surge de  j = 0, y lleva a la primera ley de Kirchhoff sobre cada nodo. Se debe balan- cear las corrientes en cada uno de los N nodos en que los filamentos se unen.

FIUBA Comportamiento inductivo MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA 4 MODELOS CIRCUITALES - BF [Z] [I] = [  ]con[I] = [I 1 I 2 … I N ] T [  ] = [  1  2 …  N ] T La condición nodal se puede escribir también en forma matricial, de modo que se llega a un conjunto de ecuaciones lineales, ligadas a la topología de conexión del circuito (conservación de las corrientes) y a la ley de Ohm compleja en cada rama del circuito. Este sistema lineal se resuelve en FastHenry mediante métodos numéricos de aceleración por desarrollo multipolar que permiten calcular los coeficientes de la matriz de impedancia. Se obtienen la corriente y la ddp sobre cada filamento. Con estos valores se puede calcular la corriente y la ddp en cada puerta del circuito y, por ende, la impedancia en cada puerta.