Dr. José Guadalupe Ríos1 IMPORTANCIA DE LA GARANTÍA Generalmente, los productos son muy similares, entonces la garantía se vuelve un factor importante, que puede determinar la decisión del cliente entre comprar o no comprar cierta marca de producto.

Dr. José Guadalupe Ríos2 TIPO DE GARANTÍA QUE VAMOS A CONSIDERAR Si el producto falla antes de un tiempo w, entonces el fabricante lo repone por otro producto nuevo manteniéndose la garantía por el tiempo que resta hasta w (a w se le llama “longitud de la garantía”).

Dr. José Guadalupe Ríos3 Para desarrollar el modelo matemático se usará la siguiente notación: w = Longitud de la garantía. L = cantidad de productos fabricados. R = Costo total de garantía. r = Costo de garantía/producto = R/L. c = Costo/producto, incluyendo el costo de garantía. N(t) = Número de fallas en el tiempo t. f(t) = función de densidad del tiempo para fallar. F(t) = Probabilidad de que un producto falle antes del tiempo t. R(t) = Confiabilidad de un producto en el tiempo t. El objetivo es, obtener una fórmula para el costo del producto incluyendo el costo de garantía.

Dr. José Guadalupe Ríos4 Entonces, se tiene que el número promedio de productos que fallan antes del tiempo t es; E[N(t)] = L F(t). El número de productos que fallen en el intervalo de tiempo t a t+dt es dE[N(t)] = L F´(t) dt = L f(t) dt. El costo de garantía en el intervalo de tiempo t a t+dt es dR = c dE[N(t)] = cL f(t) dt. El costo total de garantía es por lo tanto, r = R/L = c F(w).

Dr. José Guadalupe Ríos5 Si c´ es el costo del producto antes de incluir el costo de garantía, entonces c = c´ + r = c´+ c F(w) despejando c se tiene que

Dr. José Guadalupe Ríos6 EJEMPLO. Suponer un aparato electrónico cuyo tiempo a fallar sigue una distribución exponencial con tiempo medio de vida de 4 años. Obtener el costo del aparato si se desea aplicar una garantía de un año, y el costo del aparato sin incluir garantía es $ MN. Sol. c = 100/R(1) = 100/exp(-1/4) =

Dr. José Guadalupe Ríos7 EJEMPLO. Suponer un aparato electrónico cuyo tiempo a fallar sigue una distribución Weibull con  = 2,  = Obtener el costo del aparato si se desea aplicar una garantía de un año, y el costo del aparato sin incluir garantía es $ MN. Sol. c = 100/R(1) = 100/exp(-(1/4.55) 2 ) =

Dr. José Guadalupe Ríos8 EJEMPLO. Suponer un aparato electrónico cuyo tiempo a fallar sigue una distribución lognormal con  = 0.9,  = Obtener el costo del aparato si se desea aplicar una garantía de un año, y el costo del aparato sin incluir garantía es $ MN. Sol. c = 100/R(1) = 100/P{Z>[(ln(1)-0.9)/0.986]} =

Dr. José Guadalupe Ríos9 MANTENIMIENTO En general, hay dos tipos de mantenimiento: el mantenimiento preventivo y el mantenimiento correctivo. En el mantenimiento preventivo, algunas partes y/o lubricantes son cambiados, o algunos ajustes son hechos antes de que se presente una falla. El objetivo es, incrementar la confiabilidad del sistema a largo plazo, ya que ésta va disminuyendo debido al uso, corrosión o fatiga.

Dr. José Guadalupe Ríos10 Por otra parte, el mantenimiento correctivo se aplica después de ocurrir una falla, volviendo a poner en servicio al sistema lo más pronto posible. El objetivo aquí es incrementar la disponibilidad del sistema, el cual se define como la probabilidad de que el sistema este funcionando cuando se necesite. Solo consideraremos el mantenimiento preventivo, suponiendo que el tiempo en que se detiene el sistema para dicho mantenimiento es tan pequeño que se ignora. Como el objetivo es incrementar la confiabilidad a largo plazo, este tipo de mantenimiento se aplica en los casos en donde R(t) se reduce con el tiempo.

Dr. José Guadalupe Ríos11 Solo analizaremos el caso en que el tiempo de falla sigue una distribución Weibull, donde R(t) = exp[-(t/  )  ].

Dr. José Guadalupe Ríos12 MODELO MATEMÁTICO Sea T la longitud del intervalo de tiempo en que se aplicará el mantenimiento. R(t) es la confiabildad sin mantenimiento. R M (t) es la confiabilidad con mantenimiento. T V es el tiempo de vida útil del sistema.

Dr. José Guadalupe Ríos13 Para 0  t < T, es claro que R M (t) = R(t). Para T  t < 2T, y suponiendo que el mantenimiento deja al sistema como nuevo, la probabilidad de que funcione en el tiempo t es la probabilidad de que funcione en el tiempo T por la probabilidad de que funcione en el tiempo t-T, luego R M (t) = R(T) R(t-T). Para 2T  t < 3T, la probabilidad de que funcione en el tiempo t es la probabilidad de que funcione en el tiempo 2T por la probabilidad de que funcione en el tiempo t-2T, luego R M (t) = R M (2T) R(t-2T) = R(T) R(2T-T) R(t-2T) = R 2 (T) R(t-2T)

Dr. José Guadalupe Ríos14 En general, aplicando el mismo argumento se tiene que R M (t) = R N (T) R(t-NT) para NT  t < (N+1)T, y N = 0,1,2, 3,… Si se quiere un incremento en la confiabilidad se debe tener que R M (t) > R(T) o lo que es lo mismo R M (t)/R(T) > 1

Dr. José Guadalupe Ríos15 LA DIST. WEIBULL En particular, para la distribución Weibull se tiene que para NT < t < (N+1)T R(t) = exp[-(t/  )  ] R M (t) = exp N [-(T/  )  ] exp{-[(t-NT)/  ]  } luego R M (t) = exp[-N(T/  )  ] exp{-[(t-NT)/  ]  }.

Dr. José Guadalupe Ríos16 Ahora, si el sistema tiene un tiempo de vida o un tiempo útil de T V, y se harán N mantenimientos preventivos entonces T = T V /N, T V = NT, entonces la confiabilidad del sistema en el tiempo T V = NT es R(T V ) = exp[-(T V /  )  ] = exp[-(NT/  )  ] = exp[-N  (T/  )  ] y R M (T V ) = exp[-N(T/  )  ] exp{-[(T V -NT)/  ]  } R M (T V ) = exp[-N(T/  )  ] exp{-[(NT-NT)/  ]  } R M (T V ) = exp[-N(T/  )  ]

Dr. José Guadalupe Ríos17 Entonces

Dr. José Guadalupe Ríos18 EJEMPLO. Suponer una máquina cuyo tiempo (en años) para fallar sigue una distribución Weibull con  = 3,  = 2 y se planea un tiempo de vida de 8 años. Determinar la tasa de mantenimiento preventivo si se desea una confiabilidad de por lo menos 0.90 a los 8 años. Sol. Se tienen que T V = 8, R M (8) = 0.9 y R(8) = exp[-(8/2) 3 ] =  , luego R M (8)/R(8)   10 27, pero

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Dr. José Guadalupe Ríos21 Haciendo variar N se tiene que el mínimo valor de N es 25, donde R M (8)/R(8) =  >  10 27, luego, la frecuencia de mantenimiento preventivo debe ser: T = 8/25 = 0.32 años = 3.84 meses