1.Escalares, vectores y el álgebra vectorial 2.Funciones vectoriales de varias variables 3.Diferenciación parcial 4.El gradiente, la divergencia y el rotacional 5.Integración múltiple 6.Integral de línea 7.Integral de superficie 8.El teorema de la divergencia 9.El teorema de Stokes 10.Otros teoremas integrales

1.Los conceptos de escalar, de vector y sus operaciones 2.Entender las funciones vectoriales de un vector 3.Los diferentes conceptos de derivadas de campos escalares y vectoriales 4.El concepto de gradiente, de divergencia y de rotacional. Sus significados físicos. 5.Entender y saber hacer integrales múltiples, integrales de línea e integrales de superficie 6.Conocer, entender y saber aplicar los diferentes teoremas integrales

1.Álgebra elemental 2.Trigonometría 3.Geometría analítica plana y del espacio 4.Calculo elemental 5.Álgebra lineal

En este curso un ESCALAR será cualquier número real

En este curso un ESCALAR será cualquier número real Ejemplos de cantidades escalares: La temperatura La corriente eléctrica La presión El volumen La cantidad de carga La masa La energía

En el cálculo elemental se estudian funciones de una sola variable. Sin embargo, en la vida real la mayoría de los fenómenos y los procesos dependen de varias variables. Por tanto, son las funciones de varias variables las que, en general, sirven para describir correctamente los procesos de la naturaleza. Por motivos metodológicos las podemos dividir como: Funciones vectoriales Funciones escalares de un vector o campos escalares Funciones vectoriales de un vector o campos vectoriales

Gráfica xYφ(x,y)=1-x-y

Gráfica xYf(x,y)=1-x 2 -y

Gráfica

xYx+yy-x

(x,y)F(x,y) (0,0) (1,0)(1,-1) (0,1)(1,1) (2,0) (-1,-1)(-2,0) (-1,1)(0,2) (1,-1)(0,-2) (2,0)(2,-2) (3,-1)(2,-4)

Las líneas del campo

El gradiente es perpendicular a las superficies y curvas de nivel Las superficies y curvas de nivel son en las que el campo escalar no cambia, en las que el campo escalar se mantiene constante, por lo tanto es lógico que el gradiente, que indica la dirección de mayor crecimiento de la función, sea perpendicular a ellas

El campo escalar está en blanco y negro, representando el negro valores mayores. El gradiente está representado por las flechas azules. El gradiente apunta en la dirección de mayor crecimiento del campo escalar

OJO: En inglés se llama “CURL” Equivale a “chinitos”, “rulitos”

1.Escalares, vectores y el álgebra vectorial 2.Funciones vectoriales de varias variables 3.Diferenciación parcial 4.El gradiente, la divergencia y el rotacional 5.Integración múltiple 6.Integral de línea 7.Integral de superficie 8.El teorema de la divergencia 9.El teorema de Stokes 10.Otros teoremas integrales

Definimos una función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado variable dependiente).

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y ó f(x) variable dependiente o imagen.

Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales. Su rango es también un subconjunto de los reales.

El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f). Nota El dominio de una función puede estar limitado por: 1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa. 2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.

xf(x) xf(x)

xf(x) , , , , xf(x)

xln(x)x

El concepto de “límite” describe el comportamiento de una función cuando su argumento se “acerca” a algún punto o se vuelve extremadamente grande

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En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales

En todo el dominio, excepto en 5, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales. En 5 son 25 y 11 respectivamente

En todo el dominio, excepto en 0, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales. En 0 son +∞ y -∞ respectivamente

De manera intuitiva podemos decir que una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente. De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se “dibujan sin separar el lápiz del papel”

Esta función es continua

Es discontinua en x=-2 Es continua en todos los otros puntos del dominio

Esta área

La integral de a a b de la función f, es el área bajo la curva de la gráfica de la función entre a y b

xYφ(x,y)=1-x-y

xYf(x,y)=1-x 2 -y

Gráfica xYφ(x,y)=1-x-y

Gráfica xYf(x,y)=1-x 2 -y

Gráfica

Una serie de Taylor es una representación o una aproximación de una función como una suma de términos calculados de los valores de sus derivadas en un mismo punto

xsin(x)x

xsin(x)x-x^3/

xln(x)x-1 x-1-(x- 1)^2/2 x-1-(x-1)^2/2+(x- 1)^3/3 x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3- (x-1)^4/

Lo demostraremos más adelante, utilizando el teorema de Stokes

Necesitamos describir las superficies y sus características, principalmente debemos ser capaces de calcular el vector normal. Necesitamos un campo escalar o un campo vectorial, que son las funciones que vamos a integrar Necesitamos calcular la función a integrar sobre la superficie Finalmente, debemos proyectar el campo “sobre” la normal a la superficie

1.Escalares, vectores y el álgebra vectorial 2.Funciones vectoriales de varias variables 3.Diferenciación parcial 4.El gradiente, la divergencia y el rotacional 5.Integración múltiple 6.Integral de línea 7.Integral de superficie 8.El teorema de la divergencia 9.El teorema de Stokes 10.Otros teoremas integrales

Gráfica

1.Escalares, vectores y el álgebra vectorial 2.Funciones vectoriales de varias variables 3.Diferenciación parcial 4.El gradiente, la divergencia y el rotacional 5.Integración múltiple 6.Integral de línea 7.Integral de superficie 8.El teorema de la divergencia 9.El teorema de Stokes 10.Otros teoremas integrales

The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.2 y 3.3

The Feynman Lectures notes on Physics. Richard P. Feynman. Vol II, capítulo 3, secciones 3.5 y 3.6

Hasta aquí llegué en la Septima clase Miércoles 11 de junio del 2008

Jueves 12 de junio del 2008

1.Escalares, vectores y el álgebra vectorial 2.Funciones vectoriales de varias variables 3.Diferenciación parcial 4.El gradiente, la divergencia y el rotacional 5.Integración múltiple 6.Integral de línea 7.Integral de superficie 8.El teorema de la divergencia 9.El teorema de Stokes 10.Otros teoremas integrales

Fin del resumen

Teorema de la divergencia Teorema del rotacional Teorema de Green

Hasta aquí llegué en la Octava clase Jueves 12 de junio del 2008

Viernes 13 de junio del 2008

Fin del resumen

Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3 Ejercicio 4 Ejercicio 5