Inventores del cálculo Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) .

El otro actor

Leibniz A los quince años entró en la Universidad de su ciudad natal donde estudió una gran variedad de materias incluyendo derecho, teología, filosofía y matemáticas. Se doctoró a la edad de 21 años en la Universidad de Altdorf, en Nuremberg, donde le fue ofrecido un puesto de profesor que él rechazó. A lo largo de su vida, Leibniz realizó múltiples actividades. Como abogado y diplomático trabajó para el Príncipe elector arzobispo de Maguncia y, desde 1676 hasta su muerte, para los Duque de Brunswick-Luneburgo (conocidos como príncipes electores de Hanover desde 1692), lo que le llevó a viajar por gran parte de Europa. Inventó una máquina de calcular,.

En 1673 se interesó por la mecanización del cálculo y diseñó una de las primeras máquinas de la historia capaz de realizar cálculos matemáticos, obteniendo el reconocimiento de la Real Sociedad Matemática. Esta fue la primera máquina de este tipo capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas

G. Leibniz En 1672, estando en París en misión diplomática, Leibniz se dedicó intensamente al estudio de la matemática superior teniendo como guía al matemático y físico Christian Huygens (1629 - 1695). En los años 1673 y 1676 realizó, también en misión diplomática, dos viajes a Londres donde tuvo acceso al manuscrito de Newton De Analysi, circunstancia que se usó para acusar, hoy sabemos que sin motivo alguno, a Leibniz de plagio cuando se produjo la agria controversia sobre la prioridad en el descubrimiento del Cálculo. Los progresos matemáticos realizados por Leibniz en estos cuatro años fueron extraordinarios. Leibniz fue un pensador profundo. Como filósofo se propuso la creación de un álgebra del pensamiento humano, algo así como un lenguaje simbólico universal para escribir los razonamientos con símbolos y fórmulas, cuyas reglas de combinación permitieran reducir todo discurso racional a cálculos rutinarios.

G. Leibniz Leibniz demostró un gran interés en desarrollar una notación matemática apropiada para su cálculo; de hecho, su notación es muy superior a la de Newton y es la que usamos actualmente. Leibniz fundó la Academia de Ciencias de Berlín en 1700 y fue su primer presidente; Fue uno de los fundadores de la primera revista científica alemana, el Acta Eruditorum.

G. Leibniz Cuando a sus 26 años conoció en 1672 a Huygens en Paris, éste le planteó el problema de sumar los inversos de los números triangulares (2/n(n+1)) 1+ 1/3+1/6+…+2/n(n+1)+… Leibniz observó que cada término se puede descomponer como dos 2/n(n+1)=2(1/n – 1/(n+1)) de donde 1+ 1/3+1/6+…+2/n(n+1)+…=2(1-1/2)+2(1/2 – 1/3)+2(1/3 -1/4)+ …=2 Leibniz, tal como hizo en la suma de la serie de los inversos de los números triangulares, consideraba otras sumas y diferencias de sucesiones de números.

G. Leibniz Observó por ejemplo que dada la sucesión     a0, a1, a2, ... , an , si consideramos la sucesión de diferencias     d1, d2, ... , dn , donde  di=ai-ai-1 . Entonces d1+d2+ +dn=(a1-a0)+(a2-a1)+ +(an-an-1)=an-a0, es decir, la suma de diferencias consecutivas es igual a la diferencia entre el último y el primer término de la sucesión original. Por ejemplo, dada la sucesión de cuadrados: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ..., n2 sus primeras diferencias son: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... , 2n-1. se sigue que la suma de los n primeros números impares es 1+3+5+…+ (2n-1)=n2    Leibniz utiliza este método en otros casos. Por ejemplo en relación a la serie geométrica: 1, q, q2, ... ,qn, ...y obtiene que su suma es 1/1-q. Leibniz no tardó en aplicar a la geometría sus observaciones.

G.Leibniz Leibniz considera una curva como una poligonal de infinitos lados, donde dy es la diferencia infinitesimal de dos ordenadas consecutivas, dx es la diferencia de dos abscisas consecutivas ds es la correspondiente porción de curva, resultado así el triángulo característico de

Cociente diferencial

Calculus summatorius La suma de las ordenadas es una aproximación de la cuadratura de la curva (del área bajo la curva) la diferencia entre las ordenadas es aproximadamente igual a la pendiente de las correspondientes tangentes. Cuanto más pequeña sea la unidad tanto mejor serán estas aproximaciones . Leibniz razonaba que si la unidad pudiera ser tomada infinitamente pequeña estas aproximaciones se harían exactas .

Teorema Fundamental La cuadratura sería igual a la suma de las ordenadas y la pendiente de la tangente sería igual a la diferencia de dos ordenadas sucesivas . Como las operaciones de tomar diferencias y sumar son recíprocas entre sí , dedujo Leibniz que el cálculo de cuadraturas y de tangentes también eran operaciones inversa una de la otra.

Teorema Fundamental z=Sydx representa la suma de pequeños rectángulos infinitesimales. De esta forma, teniendo en cuenta que también z=S1dz, se deduce que ydx=dz, luego y=dz/dx.

Integración por partes De esta regla Leiniz deduce la integración por partes Sxdy=xy-Sydx. Para ello observe que los sumandos anteriores coinciden con las áreas de ciertos rectángulos de la figura, así, Sxdy+Sydx=xy

diferenciales La idea de su cálculo es que sus fórmulas y relaciones geométricas se realicen de forma casi automática por medio de las reglas d(x+y)=dx+dy, d(xy)=xdy+ydx (1). Veamos cómo demuestra (1). d(xy)=(x+dx)(y+dy)-xy=xdy+ydx+dxdy y luego omite la cantidad dxdy por ser infinitamente pequeños en comparación con los otros términos. A partir de la regla para la diferencial de un producto, Leibniz obtuvo la regla correspondiente para la diferencial de un cociente z=x/y. Poniendo x=zy se tiene que dx=ydz+zdy, de donde despejando dz, resulta: dz=(dx-zdy)/y=[dx-(x/y)dy]/y=(ydx-xdy)/y^2

G. Leibniz

G. Leibniz

Problema de De Beaune El problema que Florimont De Beaune había propuesto originalmente a Descartes en 1639 es: Hallar una curva cuya subtangente sea una constante dada a:

Subtangente: s=TA , Tangente: t=TP, Normal: n=PB, Subnormal: v=AB Triángulo característico: PQR. De la relación dx/dy=s/y obtenemos ,tomando s=a, a dy=ydx. Leibniz considera dx=b constante, lo que equivale a tener las abscisas en progresión aritmética: x_0=x, x_1=x+b, x_2=x+2b,…

La curva logarítmica Tomando dy=ky, (incrementos de y proporcionales a la propia ordenada y), Al ser dy_1=y_1-y_0, será y_1=cy_0, para c=y_0/k+1 , y_1=cy_0, y_2=c^2y_0,… Luego las correspondientes ordenadas están en progesión geométrica. Leibniz concluye diciendo que la curva es una “logarítmica”.

Desarrollo del seno a partir de su ec Desarrollo del seno a partir de su ec. diferencial Leibniz utiliza series de potencias para resolver muchas de sus ecuaciones diferenciales. Por ejemplo consideremos la figura donde aparece el primer cuadrante de la circunferencia de radio 1, donde P=(x,y) y q es el ángulo que forma POB.

Desarrollo del seno a partir de su ec. diferencial Por semejanza de triángulos dx/dy=y/(1-y^2)^(1/2). Por el Teorema de Pitágoras dx^2+dy^2=do^2. Así dy^2 +y^2do^2=do^2 Leibniz considera do como cte, y por tanto d[dy^2+y^2do^2]=0. Aplicando la regla del producto 2dy(ddy)+2ydydo^2=0. Así, usando el desarrollo en serie de potencias del seno, concluye que y=seno

Leibniz Para la integración de una función también Leibniz usó el método de descomposición en fracciones simples. En la correspondencia con Jean Bernouilli, aplicaron dicho método a la integral de 1/(ax^2+bx+c). Dicha ecuación puede ser irreducible (si no tiene raíces reales), pero él considera también factores correspondiente a cada raíz compleja, para los que utiliza el hecho conocido de que 1/(1+x) es la “antiderivada” del logaritmo. Aparecen así logaritmos de números complejos. La confusión existente acerca de los números complejos en seguida suscitó una viva polémica acerca de la naturaleza de los logaritmos de los números negativos y de los propios números complejos. En varios artículos, afirma que los logaritmos de números negativos son inexistentes (el decía imaginarios).

Leibniz Leibniz afirma que no pueden existir logaritmos para los números negativos. Leibniz había argumentado que dado que log(1+x)=x-1/2x^2+1/3x^3-… entonces para x=-2 log(-1)=-2-4/2-8/3+… De donde se deduce que al menos log(-1) no es cero (ya había dicho antes que no existía ) Si -1 tuviese logaritmo, el logaritmo de raíz de -1 tendría que valer la mitad, pero era evidente que raíz de -1 no puede tener logaritmo. Que Leibniz argumentase de esa manera después de haber introducido los logaritmos de números complejos en integración resulta inexplicable.

G. Leibniz

Epílogo No fueron los caminos del razonamiento lógico deductivo los seguidos por Leibniz sino los de la intuición, la conjetura, el estudio de casos particulares y su generalización . . . Los mismos que hoy siguen los matemáticos activos en sus trabajos de investigación. Pese a que los conceptos que maneja Leibniz son oscuros e imprecisos fue capaz de desarrollar algoritmos de cálculo eficaces y de gran poder heurístico .