SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Tema 5. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Semejanza: Dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma, aunque no tengan el mismo tamaño. Es decir, una figura es un modelo a escala de la otra. En las figuras semejantes, sus lados no tienen por que ser exactamente iguales, pero cada uno de los lados de una de las figuras son iguales a cada uno de los lados correspondientes en la otra figura multiplicado por un valor constante. Sean los triángulos A A’ B’ C B C’ EL ABC   A’B’C’ sii : A = xA’, B = xB’ y C = xC’ Donde x es la constante de PROPORCIONALIDAD Podemos ver que:

Recordemos que: cuando se manejan dos razones se les llama Proporción Asi, la proporción se lee: “a es a b como c es a d”, donde:   a y d son extremos b y c son medios  Media proporcional: Cuando en una proporción , donde b = c y b y c son medios La proporción puede escribirse: y se lee: “b es media proporcional de los extremos a y d”. Si se despeja a b, queda: , puede notarse que la media proporcional es igual al producto de los extremos. Ejemplo: , despejando queda: 82 = 16 . 4

Cuarta proporcional  La cuarta proporcional de tres cantidad es el cuarto término de la proporción, los primeros tres términos de la cual se toman en orden. Así, en la proporción que también puede escribirse a : b = c : d, d es la cuarta proporcional para a, b y c. Propiedades de las proporciones 1- 4.- 2.- 5.- 3.-

2.- m y n son las veces que cabe la unidad de medida TEOREMA: Si una recta paralela a uno de los lados de un triángulo corta a un segundo lado en segmentos que tienen una razón con términos enteros, la recta cortará al tercer lado en segmentos que tienen la misma razón. Hipótesis △ABC con DK∥AB Tesis C m= 3 D K   n= 2 Demostración A B 1.- 2.- m y n son las veces que cabe la unidad de medida 3.- igualación entre 1 y 2 La tesis es verdadera En conclusión el Teorema: Si una recta paralela a uno de los lados de un triángulo corta a un segundo lado en segmentos que tienen una razón con términos enteros, la recta cortará al tercer lado en segmentos que tienen la misma razón, es verdadero. NOTA: la proposiciones 1 y 2 supone la existencia de una unidad común que será contenida un número entero de veces CD y DA. Cuando esto es cierto se dice que los segmentos son mutuamente CONMENSURABLES.

1.- s’’∥ s Por construcción 2.- Por ser ABfA’ y BCgf paralelogramos TEOREMA DE THALES: Sis y s’ son dos rectas secantes a un haz de rectas paralelas l1, l2, l3 ,l4 ,l5 …., entonces los segmentos determinados en s son proporcionales a los determinados sobre s ’. s s’ s’’ Hipótesis l1∥l2 ∥l3∥l4∥ l5 s y s’ son secantes A A’ l1 B f B’ l2 C g C’ l3 Tesis D h D’ l4 E i E’ l5 Demostración 1.- s’’∥ s Por construcción 2.- Por ser ABfA’ y BCgf paralelogramos 3.- Sustituyendo A’f por AB y fg por BC La tesis es verdadera En conclusión el Teorema: Si s y s’ son dos rectas secantes a un haz de rectas paralelas l1, l2,…., entonces los segmentos determinados en s son proporcionales a los determinados sobre s’, es verdadero.

1.-Por reducción al absurdo PQ ∥ BC hipótesis temporal TEOREMA: Si una recta intercepta a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado. A Hipótesis PQ intercepta a AB y AC Tesis PQ ∥BC P Q Q’ Q B C Demostración 1.-Por reducción al absurdo PQ ∥ BC hipótesis temporal 2.- Se traza PQ’∥BC Por construcción 3.- Por la hipótesis 2 4.- Por el teorema de Thales 5.- AQ = A’Q’ y QC =Q’C PM igualación entre T2 y P3 Contradice el axioma de la construcción de un segmento, luego la hipótesis temporal es falsa. Por tanto, la tesis PQ ∥ BC es verdadera En conclusión el Teorema: Si una recta intercepta a dos lados de un triángulo y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado, es verdadero.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS DEFINICIÓN: Dos triángulos son semejantes si y sólo si los lados correspondientes son proporcionales y los ángulos correspondientes son congruentes △ABC ∽ △A’B’C’   = ’,  = ’,   ’, y A  A’ ’   ’  ' B’ B C C’

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PRIMER CRITERIO: Ángulo – Ángulo. A.A.: Dos triángulos son semejantes sii tienen dos ángulos congruentes: △ABC ∽ △A’B’C’   = ’,  = ’ A  A’ ’  ’ B’ B C C’

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS SEGUNDO CRITERIO: Lado- ángulo-lado. L.A.L.: Dos triángulos son semejantes sii tienen 2 lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. △ABC ∽ △A’B’C’   = ’, y A  A’ ’ B C B’ C’

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TERCER CRITERIO: Lado-Lado-Lado. L.L.L.: Dos triángulos son semejantes sii tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. △ ABC ∽ △ A’B’C’  A A’ B C B’ C’

Definición Proyección ortogonal de un punto sobre una recta: Llámese PROYECCIÓN ORTOGONAL de un punto P sobre una recta l al pie P’ de la perpendicular trazada desde ese punto a la recta. La Proyección de un segmento AB sobre l es el conjunto de puntos de la recta comprendidos entre las proyecciones de los extremos del segmento. P A B  B A P’ A’ B’ A’ B’

PROPIEDADES MÉTRICAS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Teorema: La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina dos triángulos que son semejantes a él. A Hipótesis: △ABC es rectángulo en A AH es altura de A Tesis △ABC∽△HAC △ABC∽△HBA h   C B H Proposiciones 1.- △ABC∽△HBA Por ángulo-ángulo (∠H y ∠) 2.- △ABC∽△HAC Por ángulo-ángulo ((∠H y ∠) Ambas tesis son verdaderas En conclusión el Teorema: La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina dos triángulos que son semejantes a él, es verdadero.

Teorema (Teorema de la Altura): La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos determinados por ella. Hipótesis: △ABC es rectángulo en A AH es altura de A AH determina a m y n A Tesis h2=m.n h B C Demostración 1.- △ABC∽△HBA Por el Teorema anterior 2.- △ABC∽△HAC Por el Teorema anterior 3.-△HAB∽△HAC Por transitividad entre 1 y 2 4.- Lados proporcionales en △s semejantes 5.- Despeje de h en 4 m H n La tesis es verdadera En conclusión el Teorema: ): La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos determinados por ella, es verdadero.

Teorema (Teorema del Cateto): En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella. A Hipótesis: △ABC es rectángulo en A AH es altura de A Tesis  c2=a.m b2=a.n c b h B C m n H a Demostración 1.-△HAB∽△HAC Por transitividad entre 1 y 2 2.- La tesis 1 es verdadera 3- La tesis 2 es verdadera En conclusión el Teorema: La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos determinados por ella, es verdadero.

TEOREMA DE PITÁGORAS: El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Del teorema anterior: b2 = a . n c2 = a . m Sumando queda

TEOREMA GENERALIZADO DE PITÁGORAS: En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo (obtuso) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos (más) el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. A B C h H m a c n b A B C h H n a c m b