APLICACIONES DE LA DERIVADA 3 OPTIMIZACIÓN

¿QUÉ ES OPTIMIZAR? Términos y expresiones sinónimos: Mejorar Cualificar Superar Hacer más eficaz

Exigencias del mundo moderno Producir más con los mismos o con menos recursos Minimizar el gasto público pero sin deteriorar la inversión social. Maximizar las ganancias con menos inversión, sin deteriorar la calidad del producto. Elaborar un recipiente con gran capacidad, empleando la menor cantidad de material. Construir viviendas con mayor área en espacios reducidos. Etc

Optimización en la industria ..\..\..\..\..\..\Mis videos\Latas.wmv

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Veamos el siguiente contexto: Yusu-Store es una tienda de venta de computadores. La función de utilidad de la tienda está dada por la ecuación U(x)=1000000x – 2000x2 – 3000000, donde x representa el número de computadores. ¿Cuántos computadores se deben vender para maximizar la utilidad de Yusu-Store?. A) 200 computadores B) 250 computadores C) 300 computadores D) 350 computadores

¿Qué relación existirá entre la función de utilidad y su derivada respecto a la cantidad de unidades que generan la utilidad máxima Veamos: Hallemos U´(x) y comparemos con la gráfica de U(x) U´(x)=

MÁXIMOS Y MÍNIMOS Criterios de la primera y segunda derivada: Definición: Sea f una función continua en el intervalo abierto 𝒂 , 𝒃 que contiene al punto c. Suponga que f´ y f´´ existen en todo punto de dicho intervalo. Si f´(c)=0, entonces en el punto c hay una máximo o un mínimo: Si f´´(c)<0, f(c) es un valor máximo local de f. Si f´´(c)>0, f(c) es un valor mínimo local de f.

EJEMPLO 1. Determine en que puntos la función 𝑔 𝑥 =− 𝑥 4 +8𝑥−7 presenta puntos máximos o puntos mínimos. ¿Cuáles son esos puntos?

EJERCICIOS 1. Determine en que puntos la función 𝑔 𝑥 = 2𝑥 3 −9 𝑥 2 +12𝑥−24 presenta puntos máximos o puntos mínimos. ¿Cuáles son esos puntos?

PROBLEMAS DE APLICACIÓN A MÁXIMOS Y MÍNIMOS Una caja abierta (sin tapa en la parte superior) de base rectangular y lados verticales debe construirse con 3600 𝑐𝑚 2 de cartón. Halla las dimensiones que ésta debe tener para que el volumen sea el máximo.

Lo que se desea construir

Previamente habría que….

SOLUCIÓN ANALÍTICA ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACÓN

Hagamos un intento Se dispone de una lámina de cartón de 12cm de lado. Cortando cuadrados iguales en las esquinas se construye una caja abierta doblando los laterales. Hallar las dimensiones de los cuadrados cortados para que el volumen sea máximo. ¿Cuáles serían las dimensiones de la caja y cuál su volumen?

Lámina recortada Caja armada

Se quiere cercar un lote rectangular que está junto a un camino Se quiere cercar un lote rectangular que está junto a un camino. Si colocar malla al sector que está junto al camino cuesta $8 el metro y para los lados cuesta $4 el metro, halle el área del mayor campo que puede cercarse si se dispone de $1440.

Para hacer cono un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular Para hacer cono un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular. Si el radio de dicho papel mide 9cm. Calcular la altura del cono que se forma que por él fluya la mayor cantidad de sustancia posible.

Un problemas de Economía Un vendedor de seguros es capaz de vender x pólizas por semana a un precio de: 𝑃=200−0,01𝑥 pesos cada una. Si el costo total es 𝑦=50𝑥+20000 pesos. ¿Cuántas pólizas de seguros debe vender para que la ganancia sea máxima?