CÁLCULO DE PROBABILIDADES TEMA 13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I PERMUTACIONES TEMA 13.1bis * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Las claves de la Combinatoria Lo más difícil de la Combinatoria es distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones, y después discernir si son no con repetición. En las dos primeras (variaciones y permutaciones) la clave estará en el orden de colocación de los elementos. En la tercera (combinaciones) la clave estará en la ausencia de orden, importando el conjunto de dichos elementos. En la primera forma de agruparlos (variaciones) se toman parte de los elementos de un conjunto, mientras que en la segunda forma (permutaciones) se toman todos los elementos del conjunto. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

PERMUTACIONES ORDINARIAS ( SIN REPETICIÓN ) De m elementos tomados de m en m , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que, entrando todos ellos en cada grupo, un grupo se diferencie de los demás en el orden de colocación de los elementos. PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN P = m! m Lista de todos los alumnos de una clase Colocar los libros en una estantería Maneras de colocarse unas personas alrededor de una mesa @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Factorial de un número Se llama factorial de un número entero y positivo n , al producto de n factores consecutivos, que comienzan en la unidad y terminan en n. 2! = 1.2 = 2 3! = 1.2.3 = 6 4! = 1.2.3.4 = 24 5! = 1.2.3.4.5 = 120 Los símbolos 1! y 0! no tienen significado por si mismos, pero por convenio (y sobre todo por funcionamiento práctico) su valor es 1. Todo número factorial se puede descomponer en factores. Ello es muy práctico en la simplificación de operaciones. Así: 8! = 8.7.5.4! , 13! = 13.12.11.10.9! , 110! = 110.109.108! 13! / 8! = 13.12.11.10.9.8! /8! = 13.12.11.10.9 110! / 108! = 110.109.108! / 108! = 110 . 109 Etc @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 1 Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de cuatro letras distintas se pueden formar? Resolución: Importa el orden de colocación, se cogen todas las letras y deben ser letras distintas… Luego son permutaciones ordinarias P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 EJEMPLO 2 Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en una lista? Importa el orden de colocación, se cogen todos y serías absurdo repetir alguno de ellos… P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 manera distintas de ordenarlos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 3 Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en una mesa circular? Resolución: Importa el orden de colocación, tomo los 6, y no hay repetición … Luego son permutaciones ordinarias, pero no vale la posición relativa Pn-1 = (n – 1)! = (6 – 1)! = 5 ! = 120 EJEMPLO 4 Con los seis alumnos de la clase, ¿de cuantas formas diferentes les puedo ordenar en clase, si dispongo de 24 pupitres? Importa el orden de colocación, debo elegir 6 de los 24 pupitres, y no puedo sentar a dos alumnos en el mismo pupitre (no hay repetición )… Luego son variaciones ordinarias V24,6 = 24! / (24-6)! = 24. 23. 22. 21. 20. 19 = 96.909.120 Importante: No puedo ordenar los 6 alumnos tomados de 24 en 24. Hay que razonar y ver el problema desde los pupitres. Debo elegir 6 pupitres, uno para cada alumno. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I COMBINACIONES TEMA 13.2 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

COMBINACIONES ORDINARIAS ( SIN REPETICIÓN ) De m elementos tomados de n en n , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que en cada grupo entren n elementos distintos y que un grupo se diferencie de los demás al menos en uno de sus elementos. COMBINACIONES SIN REPETICIÓN m! C = ----------- m,n n!(m-n)! Lotería Primitiva Equipos de baloncesto a formar. Juegos de cartas ( Brisca, Tute, etc ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplos Con los 20 alumnos de una clase, ¿cuántos equipos de baloncesto se pueden formar? Resolución: No importa el orden en que seleccionemos los cinco alumnos para formar un equipo … CUIDADO: Alguien podría pensar en hacer 20 / 5 = 4 equipos me salen. Efectivamente salen 4 equipos diferentes REALES. Si intercambiamos ( permutamos ) dos alumnos de uno a otro equipo, nos salen dos equipos más que podemos hacer. Vemos que son MUCHOS MÁS los equipos POSIBLES. Al no importar el ORDEN no son ni variaciones ni permutaciones. Luego serán COMBINACIONES. Y como ningún jugador se puede duplicar… COMBINACIONES ORDINARIAS. C20,5 = 20! / 5! (20-5)! = 20! / 5!. 15! = 20.19.18.17.16 / 120 = = 19.3.17.16 = 15.504 equipos diferentes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Con los 6 alumnos de una clase, ¿cuántos equipos de baloncesto se pueden formar? Resolución: No importa el orden en que seleccionemos los cinco alumnos para formar un equipo … CUIDADO: Alguien podría pensar en hacer 6 / 5 = 1 equipos me sale, y me sobra un alumno. Efectivamente sale 1 sólo equipo diferente REAL. Si intercambiamos ( permutamos ) un alumno seleccionado por el no seleccionado, me sale un equipo más.. Vemos que son MUCHOS MÁS los equipos POSIBLES. Al no importar el ORDEN so son ni variaciones ni permutaciones. Luego serán COMBINACIONES. Y como ningún jugador se puede duplicar… COMBINACIONES ORDINARIAS. C6,5 = 6! / 5! (6-5)! = 6! / 5!. 1! = 6 equipos diferentes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Con los 6 alumnos de una clase, ¿cuántos equipos de trabajo de tres alumnos cada equipo se pueden formar? Resolución: No importa el orden en que seleccionemos los tres alumnos para formar un equipo … Y como ningún alumno se puede duplicar… COMBINACIONES. C6,3 = 6! / 3! (6-3)! = 6! / 3!. 3! = = 6.5.4.3.2.1 / 3.2.1.3.2.1 = 20 equipos diferentes. Me ha tocado en una lotería un lote de tres películas a elegir entre 10 diferentes. ¿De cuántas maneras puedo componer el lote, si las tres películas deben ser distintas?. No importa el orden en que seleccionemos las tres películas, aunque deben ser distintas … C10,,3 = 10! / 3! (10-3)! = 10! / 3!. 7! = 10.9.8.7! / 6.7! = 120 formas. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

NÚMEROS COMBINATORIOS Los llamados números combinatorios son una extensión de las Combinaciones. Así por ejemplo, no podemos formar combinaciones de 0 elementos, vemos que es absurdo. Pero en la práctica la fórmula o modo de obtenerles es la misma : m C m,n = ( ) n Se determina que: 1! = 1 y que 0! = 1 m m Propiedades: A) ( ) = ( ) n m – n m m m + 1 B) ( ) + ( ) = ( ) n n + 1 n + 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplos 5 5 Propiedades: A) ( ) = ( ) 3 5 – 3 C5,3 = C5,2  5! / 3!.2! = 5! / 2!.3!  10 = 10 7 7 3 7 – 3 C7,3 = C7,4  7! / 3!.4! = 7! / 4!.3!  35 = 35 10 10 7 10 – 7 C10,7 = C10,3  10! / 7!.3! = 10! / 3!.7!  120 = 120 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I