CLASE 3: Técnicas de Conteo y Probabilidades

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1 CLASE 3: Técnicas de Conteo y Probabilidades
Sector: Matemáticas Curso: 1° Medio B Subsector: Matemáticas Profesora: Daniela Gaete CLASE 3: Técnicas de Conteo y Probabilidades VARIACIONES COMBINACIONES

2 VARIACIONES

3 Variaciones sin repetición
También conocida como r-permutaciones, consiste en seleccionar r objetos de un total de n y ordenar esta selección de todas las maneras posibles, de manera que difieran en el orden o de algún elemento. La variación sin repetición se calcula mediante la expresión. 𝑉 𝑟 𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! No entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

4 Ejemplo: 𝑉 3 5 = 5! 5−3 ! = 5∙4∙3∙2∙1 2∙1 =5∙4∙3=60
¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes. 𝑉 3 5 = 5! 5−3 ! = 5∙4∙3∙2∙1 2∙1 =5∙4∙3=60

5 Ejemplo 𝑉 3 8 = 8! 8−3 ! = 8! 5! = 8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 5∙4∙3∙2∙1
En una carrera de atletismo compiten 8 alumnos, si se les premiará a los alumnos con un diploma para el primer, segundo y tercer lugar ¿Cuántos diplomas se pueden formar para los ganadores? No entran todos los elementos. De 8 candidatos entran sólo 3. Sí importa el orden. No es lo mismo quedar en primer lugar que tercer lugar No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra 𝑉 3 8 = 8! 8−3 ! = 8! 5! = 8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 5∙4∙3∙2∙1 =8∙7∙6=336

6 Variaciones con Repetición
Consiste en determinar el número del subconjunto de r elementos de un total de n elementos dados, de manera que en algunos de ellos se repitan los elementos. La variación con repetición se obtiene mediante la expresión No entran todos los elementos si n > r.  Sí pueden entrar todos los elementos si n ≤ r Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos 𝑉 𝑟 𝑛 = 𝑛 𝑟

7 Ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. Sí se repiten los elementos. 𝑉 3 5 = 5 3 =125

8 Combinaciones

9 Combinaciones sin repetición
Consiste en determinar el número de subconjuntos de r elementos de un total de n elementos dados, de manera que ellos difieran en algún elemento, no importando el orden en que estos se encuentren. La combinatoria se calcula mediante la expresión: 𝐶 𝑟 𝑛 = 𝑉 𝑟 𝑛 𝑃 𝑟 = 𝑛! 𝑛−𝑟 !∙𝑟! No entran todos los elementos. No importa el orden No se repiten los elementos

10 Ejemplo De los nueve candidatos presidenciales, se sabe que dos de ellos pasarán a segunda vuelta. ¿Cuántas combinaciones existen? 𝐶 2 8 = 9! 9−2 !∙2! = 9! 7!∙2! = 9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 (7∙6∙5∙4∙3∙2∙1)∙(∙2∙1) = ∙2 = =36

11 Ejemplo: Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4. 𝐶 4 10 = 10! 10−4 !∙4! = 10! 6!∙4! = 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 (6∙5∙4∙3∙2∙1)∙(4∙3∙2∙1) = 10∙9∙8∙7 4∙3∙2∙1 = =210

12 Ejemplo: En un curso de 32 alumnos se quiere elegir la directiva formada por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? 𝐶 3 32 = 32! 32−3 !∙3! = 32! 29!∙3! = 32∙31∙30∙29! 29!∙(3∙2∙1) = 32∙31∙30 3∙2∙1 = =4960

13 Combinaciones con repetición
Son los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos. No importa el orden. Sí se repiten los elementos. 𝐶 𝑟 𝑛 = (𝑛+𝑟−1)! 𝑟! 𝑛−1 !

14 Ejemplo En un supermercado hay cinco tipos diferentes de bebidas. ¿De cuántas formas se pueden elegir tres bebidas? No entran todos los elementos. Sólo elije 3. No importa el orden. Sí se repiten los elementos. 𝐶 3 5 = (5+3−1)! 3! 5−1 ! = 7! 3!∙4! = ∙24 = =35