Cálculo de extremos de funciones de R n –> R : Supongamos que queremos calcular un extremo de una función f de R n –> R: donde
En los puntos en los que f tenga un extremo, se deberá cumplir que: Si llamamos: entonces estamos buscando la solución de:
Como hemos visto, por tanto el cálculo de extremos de funciones de R n –> R se puede plantear como el cálculo del cero de una función de R n –> R n, que, como sabemos, se puede resolver mediante el método de Newton-Raphson.
Aplicación: Ajuste de puntos mediante una familia de curvas: Una posible aplicación de lo visto anteriormente sería el ajuste de un conjunto de puntos (x i,y i ), i=1,2, …, N mediante una familia de curvas f(x, 1, 2,…, n ) que puede depender de una serie de parámetros 1, 2,…, n. Por ejemplo, podríamos utilizar polinomios para ajustar los puntos, en cuyo caso tendríamos: Un caso particular de criterio de ajuste podría ser el de minimizar la siguiente función:
Por tanto, si queremos minimizar dicha función, tendremos que buscar los ceros de las respectivas derivadas parciales: Luego, buscamos la solución del sistema siguiente:
En el caso de que las funciones de ajuste sean polinomios: se cumple que: y el sistema queda:
Un caso particular y sencillo puede ser el ajuste (por mínimos cuadrados)de una serie de puntos mediante una línea recta, es decir, mediante un polinomio de orden 1: y el sistema queda: