TEMA 2 CARACTERIZACIÓN FRECUENCIAL DE SEÑALES Y SISTEMAS

DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER Toda señal x(t) periódica y bajo ciertas condiciones, puede representarse de modo único mediante un desarrollo en series de exponenciales complejas: La serie converge hacia la señal en el sentido de que el error cuadrático medio integral tiende a cero al aumentar N.

DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER Propiedades: Líneas espectrales equiespaciadas. C0 es el valor medio de la señal. Si x(t) es real , entonces: C -n = C*n Si x(t) es par => Cn es real; arg [Cn] = 0, ±π

DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER Propiedades: Si x(t) es impar => Cn es imaginario; arg[Cn] = ± π/2 Para señales reales: Teorema de Parseval:

TRANSFORMADA DE FOURIER Para señales x(t) de cuadrado integrable: El dominio de la frecuencia se define por la Transformada de Fourier: y se define la Transformada inversa de Fourier:

TRANSFORMADA DE FOURIER La Transformada de Fourier es un caso límite de las series de Fourier:

TRANSFORMADA DE FOURIER Algunas Propiedades:  Sea el par  Linealidad. Dualidad Retraso Temporal Modulación en Frecuencia Teorema de Rayleigh Establece que:

TRANSFORMADA DE FOURIER Demostración:

TRANSFORMADA DE FOURIER La función: Es la denominada Densidad de Energía de una señal en el dominio de la frecuencia. Esta es una función real, positiva y par: Ancho de Banda: Se denomina Ancho de Banda de una señal al intervalo de frecuencia dentro del cual su Densidad Espectral de Energía es superior a la mitad del valor máximo.

TRANSFORMADA DE FOURIER GENERALIZACIÓN: ESPECTRO CONTÍNUO PARA SEÑALES PERIÓDICAS Cualquier señal que pueda ser expresada como suma de fasores conjugados, tendrá un espectro contínuo consistente en pares de impulsos. Para señales periódicas:

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Todo Sistema Lineal puede caracterizarse por una Función de Transferencia, de forma que: La función de transferencia de un Sistema lineal puede determinarse a partir de la amplitud y fase de la señal de salida cuando la señal de entrada es un fasor. Conexiones de Funciones de Transferencia. Ejemplos.

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA REPRESENTACION FRECUENCIAL PARA SISTEMAS DISCRETOS LINEALES E INVARIANTES Sea : Si Donde por definición es la Respuesta en frecuencias de un filtro caracterizado por h(n).

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA REPRESENTACION FRECUENCIAL PARA SISTEMAS DISCRETOS LINEALES E INVARIANTES Propiedades : H(ejw ) es una función continua de w. H(ejw ) es una función periódica de periodo 2π , por lo que podemos desarrollarla en series,  siendo los valores de los coeficientes del desarrollo: Transformada inversa

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SECUENCIAS DISCRETAS En general: Si  , se define : Representación de una secuencia a partir de exponenciales complejas: La respuesta de un sistema discreto lineal e invariante, a una entrada x(n) es la superposición de las respuestas a cada una de las exponenciales complejas contenidas en la representación de x(n).

RELACIONES ENTRADA/SALIDA Sea Se verifican las siguientes relaciones

RELACIONES ENTRADA/SALIDA Propiedades : 1) Linealidad : Sean entonces 2) Desplazamiento temporal: 3) Inversión:

RELACIONES ENTRADA/SALIDA Propiedades : 4) Desplazamiento en frecuencia: 5) Modulación: 6) Diferenciación:  

RELACIONES ENTRADA/SALIDA Propiedades : 7) Teorema de Parseval: 8) Teorema de Convolución: 9) Teorema de las Ventanas:

RELACIONES ENTRADA/SALIDA Propiedades : 10) Transformada de Fourier de secuencias con simetría: La Transformada de Fourier de una secuencia par es una función real. La Transformada de Fourier de una secuencia impar es una función imaginaria.

RELACIONES ENTRADA/SALIDA DISTORSIÓN Un sistema lineal no presenta distorsión si la salida difiere de la entrada, a lo sumo, en una amplificación y un retardo. Es decir: por lo que la Función de Transferencia de un filtro para que no produzca distorsión ha de ser de módulo constante y fase lineal con la frecuencia:

RELACIONES ENTRADA/SALIDA SISTEMAS DE FASE LINEAL Las características de fase lineal solo son posibles para filtros FIR. Existen 4 tipos de filtros FIR de fase lineal: Tipo 1  h(n)=h(N-1-n) siendo N impar Tipo 2  h(n)=h(N-1-n) siendo N par Tipo 3  h(n)=-h(N-1-n) siendo N impar Tipo 4  h(n)=-h(N-1-n) siendo N par

RELACIONES ENTRADA/SALIDA MUESTREO DE SEÑALES CONTÍNUAS Cualquier secuencia genérica x(n) puede expresarse como: Desde el punto de vista simbólico :

RELACIONES ENTRADA/SALIDA MUESTREO DE SEÑALES CONTÍNUAS Muestreo ideal o instantáneo

RELACIONES ENTRADA/SALIDA MUESTREO DE SEÑALES CONTÍNUAS En la práctica Muestreo no instantáneo

RELACIONES ENTRADA/SALIDA MUESTREO DE SEÑALES CONTÍNUAS Desde el punto de vista analítico:

RELACIONES ENTRADA/SALIDA MUESTREO DE SEÑALES CONTÍNUAS ¿ Qué relación existe entre y ? ¿ Qué efecto tiene el valor de T ? Unión de ambas fórmulas (1)

RELACIONES ENTRADA/SALIDA MUESTREO DE SEÑALES CONTÍNUAS Transformando la en :

RELACIONES ENTRADA/SALIDA MUESTREO DE SEÑALES CONTÍNUAS Comparando (1) y (2) se obtiene :

RELACIONES ENTRADA/SALIDA MUESTREO DE SEÑALES CONTÍNUAS A continuación se muestran el espectro de salida de unas señales muestreadas con frecuencias mayor y menor que la indicada en el criterio de Nyquist.

RELACIONES ENTRADA/SALIDA MUESTREO DE SEÑALES CONTÍNUAS Conclusiones : 1) Si xa(t) está limitada en banda de ancho Ω0 , y el periodo de muestreo T es tal que Ω0 < π/T, entonces la secuencia de muestras x(n) presentará un espectro periódico X(ejw) tal que contiene a Xa(Ω) en un periodo, y por tanto es posible reconstruir xa(t) a partir de x(n). 2) La condición para que en un proceso de muestreo de una señal xa(t) limitada en banda de ancho Ω0 no se pierda información acerca de la misma, es que la frecuencia de muestreo fm=1/T sea al menos el doble de f0= Ω0 /2 π . A esta relación se le denomina relación de Nyquist o de Shannon.

RELACIONES ENTRADA/SALIDA MUESTREO DE SEÑALES CONTÍNUAS Conclusiones : 3) Si en el proceso de muestreo no se cumple esta relación, entonces X(ejw) sufre un proceso de perturbación en altas frecuencias, proceso equiparable a un ruido que se denomina aliasing (alias). 4) La mayoría de las señales con interés práctico suelen estar limitadas en banda, por lo que será posible construir un sistema de proceso de señal, es decir, basado en muestras de la señal analógica, de tal forma que no se pierda información relevante acerca de aquella.

RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES CONTÍNUAS Reconstruir x(t) a partir de x(n). Si Luego: Como:

RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES CONTÍNUAS Por lo que: Luego

RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES CONTÍNUAS Lo anterior es equivalente a una expansión funcional: El sistema que genera xr(t) partir de la secuencia x(n) se denomina Bloqueador

RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES CONTÍNUAS Bloqueador Ideal:   xr(t)=xa(t) Inconvenientes: 1) No es Causal 2) Precisa de un número infinito de términos

RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES CONTÍNUAS Muestreo Simbólico: Ideal: Por Pulsos:

RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES CONTÍNUAS Análogamente, puede contemplarse el proceso de Reconstrucción como un filtrado de x*(t) pero con lo cual :

RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES CONTÍNUAS Bloqueador Ideal:

RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES CONTÍNUAS Bloqueador de orden cero:  xr(t) = x(n)  para  nT < t < (n+1)T , ,

CUANTIZACIÓN Es el proceso de convertir números con precisión infinita en números de un conjunto finito. Si las amplitudes de las muestras están en el rango (xmin,xmax) y se utilizan L niveles, entonces el tamaño del intervalo de cuantización es: y los niveles de amplitud permitidos son: i= 0,...,L-1

(a) Midtread-type quantizer, (b) Midriser-type quantizer CUANTIZACIÓN En la figura se muestran dos tipos de características I/O: (a) Midtread-type quantizer,    (b) Midriser-type quantizer

CUANTIZACIÓN La Cuantización da lugar a una pérdida de precisión, de forma que la secuencia de salida del cuantizador puede expresarse como: x(n)=x(n)+ eq(n) La amplitud de cada muestra de eq(n) está en el rango: Potencia ó valor cuadrático medio de la señal de error (de cuantización):

CUANTIZACIÓN Para una señal de longitud finita, una estimación de la potencia del error es: Se define la relación señal-ruido como la relación entre la potencia de la señal y la potencia del ruido:

CUANTIZACIÓN Para una señal de longitud finita: Frecuentemente la relación señal ruido se expresa también en una escala en decibelios:

MODIFICADOR DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO La frecuencia de muestreo de una señal discreta temporal puede modificarse mediante dos métodos diferentes: Convertir la señal discreta en una señal contínua y remuestrearla. Procesar directamente la señal discreta

MODIFICADOR DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO DECIMADOR: Sistema que reduce la frecuencia de muestreo en una relación de enteros Un downsampler tiene una caracterísitca I/O: xD(n)=x(nD) Retener una de cada D muestras de la señal de entrada.

MODIFICADOR DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO DECIMADOR: Puede demostrarse que:

MODIFICADOR DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO DECIMADOR: Para prevenir el aliasing, x(n) debe estar limitada en banda de forma que: X(w)=0 para  En la práctica:

MODIFICADOR DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO INTERPOLADOR : Sistema que incrementa la frecuencia de muestreo en una relación de enteros Un upsampler se define por: xU(n)=  x(n/U) para n=kU y 0 para cualquier otro n. En este caso, la señal de salida se obtiene insertando U-1 muestras de amplitud 0 entre cada dos muestras consecutivas de x(n).

MODIFICADOR DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO INTERPOLADOR : En la práctica:

MODIFICADOR DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO INTERPOLADOR : El espectro en frecuencias de la señal sobremuestreada es: XU(w)=X(wU)