P1. Septiembre 2006 a)(2.5 puntos) Calcular el valor de la integral Respuesta.
-RR CRCR z1z1 Puntos singulares de
Tomando límites en (1): Por ser f analítica en γ y en su interior salvo en z 1 (Tª de Cauchy-Goursat) Caso k > 0
Caso k = 0
Respuesta. b) (2 puntos) Encontrar todas las posibles funciones complejas f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analíticas en la región D = {z є C/ |z| ≤ 3}, que cumplan simultáneamente: Re(f(z)) = u(x) f(0) = 0 máx |f(z)| = 6, z є D 1.f(z) = u(x) + iv(x,y) analítica en D => Se cumple Cauchy – Riemann en D
2. f(0) = 0 = B + iC B = 0, C = 0 3.
c) (3 puntos) Obtener el desarrollo en serie de Laurent de la función válido en el disco |z| < a. Especificar el máximo valor de a donde el desarrollo es convergente. a Respuesta. Ptos. singulares z = ±1. (z = 0 es una singularidad evitable: lim (z→0) f(z) = 1) a máx = |z 1,2 – 0| = 1
c) (2.5 puntos) Probar, sin calcular la integral, que R Im (z) R Re (z) Respuesta.