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Publicada porGeraldo Casiano Modificado hace 8 años
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Límites infinitos. 1- Se dice que lím f (x) = si: x x
a) una vecindad perforada V de 0 V Dom. f | f (x)| 0 b) lím = 0 x x f (x)
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Lím 1 = Ejemplo: a) x V Dom f 1 0 (x - 2)³
x 2 (x - 2)³ a) x V Dom f 0 (x - 2)³ b) lím lím (x - 2)³ 0 x x 2 el límite es infinito.
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2- Se dice que lím f (x) = + si: x x0
a) una vecindad perforada V de o V Dom. f f (x) 0 b) lím = 0 x x0 f (x)
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el límite es infinito positivo.
Ejemplo: Lím = + x x² a) x V Dom f 0 x² b) lím lím x ² 0 x x 0 el límite es infinito positivo.
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3- Se dice que lím f (x) = - si: x x0
a) una vecindad perforada V de o V Dom. f f (x) < 0 b) lím = 0 x x0 f (x)
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el límite es infinito negativo.
Ejemplo: Lím = - x x - 2 x < 2 a) x V Dom f < 0 x - 2 b) lím lím x 0 x x 2 x < x x < 2 el límite es infinito negativo.
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Límites a izquierda y a derecha.
lím f (x) lím f (x) x x x x0 + x x0 Llamaremos límite en Xo por la derecha. Definición: lím f (x) L x x0 + (0)(0)(x)(xo x x0 + f (x) - L )
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lím f (x) lím f (x) lím f (x) L
x x x x0 ¯ x < x0 Llamaremos límite en Xo por la izquierda. Definición: lím f (x) L x x0 ¯ (0)(0)(x)(xo - x x0 f (x) - L )
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Teorema de unicidad de límites.
lím f (x) = Existe lím f (x) = lím f (x) x x x x x x0 ¯ * El resultado siempre debe ser el mismo. Ejemplo: 1) lím x ) lím x - 1 x1 ¯ x - 1 x1+ x - 1 lím x = lím x = x1 ¯ - ( x - 1) x ( x - 1) lím x porque los límites son diferentes -1 1 x1 x - 1
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Límites importantes. x o x x n x x x
1) lím sen x = ) lím ex = x o x x 2) lím n! = ) lím ln x = n x 3) lím n = ) lím ( ) x = e n n! x x 4) lím sen x = ) lím ( 1 + ) 1/ =e x x
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9) lím f (x) 0 12) lím f (|x|) = lím f (x)
x x xo xo+ entonces: lím ( ln f (x)) = ln lím f (x) ) lím e x = 0+ x x x x x - 10) lím sen 1 = ) lím e x - 1 = 1 x x xo x 11) lím f (x) = lím f (-x) xo xo-
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Teoremas de límites. x de una vecindad reducida de xo y que:
1. f 1 (x) f 2(x) f 3 (x) x de una vecindad reducida de xo y que: lím f 1(x) = lím f 3(x) = L lím f 2(x) = L x x x x x x0 2. f 2(x) lím ( f 1(x)) x x0
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Caso I: lím f 1(x) = L1 lím f 2(x) = L2 con L1 L2 R f 2(x) L2
x x x x0 f 2(x) L2 lím ( f 1(x)) = L1 x x0
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Caso II: lím f 1(x) = L1 lím f 2(x) =
x x L1 x x0 f 2(x) lím ( f 1(x)) x x0 El límite se resuelve directamente.
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Caso III: lím f 1(x) = 1 lím f 2(x) = lím (f 1(x) - 1 ) f 2(x)
x x x x0 lím (f 1(x) - 1 ) f 2(x) lím ( f 1(x)) x x0 f 2(x) x x = e
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Ejercicios: calcular los límites.
x + 1 lím x x x + 3 lím x = lím 2x = 7 x x x 2x lím x = x x
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x 2 x - 1 (x - 2) lím 4x + 1 x -2 = lím 4x + 1 = 9 lím 1 =
lím x x = x x - 1 lím x = lím = x x x x - 2 a) 0 x - 2 b) lím = lím (x - 2) = 0 x x 2 (x - 2)
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lím 3x - 11 - x + 3 1 lím 2 (x - 4) x 4 x - 3 = e = e = e = e²
lím x x -4 x x - 3 lím x = lím = x x x x - 4 lím x x x x - 4 = e lím x x lím (x - 4) x x x x 4 (x - 3)( x - 4) = e = e = e²
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= ln e = ln e = ln e x = 1 lím ln (x + h) - ln x = lím ln x + h h
lím f (x + h) - f (x) si f (x) = ln x h h lím ln (x + h) - ln x = lím ln x + h h h h h x 1 ln lím x + h h como se cumplen las condiciones h x del caso 3... lím x + h lím x + h - x h x h h x h = ln e = ln e = ln e x = 1 X
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Integrantes : Karen Arancibia Claudia Carmona Alejandra Gonzalez Grupo 4.
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