Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM.

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1 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM

2 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM 1.9 Cálculo de diferencias de potencial (carga puntual, segmento de línea, superficie infinita, placas planas y paralelas). Objetivos. Establecer las ecuaciones de las diferencias de potencial para distintos distribuciones de carga contínuas. Comprender el concepto de gradiente de potencial.

3 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Potencial producido por una esfera que posee una densidad superficial de carga δ. Trayectoria para de conocer el potencial en los puntos A y B

4 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM El campo E es cero cuando r<r 0 Cuando r≥r 0 Para un punto A fuera de la esfera

5 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Puesto que se trata de un esfera, el área esta dada por la expresión La densidad superficial de carga σ Sabemos que el potencial de V A es El potencial de V A en función la densidad superficial de carga es El potencial de V A en función de la densidad superficial de carga es

6 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Para un punto interior B de la esfera, el potencial es: El potencial en la superficie es ( en un punto C):

7 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM El potencial de C a B : El potencial en el interior de la esfera es igual al potencial de la superficie:

8 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Potencial en un punto producido por un segmento de línea con distribución uniforme de carga λ:

9 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Sustituyendo y resolviendo la integral Por lo tanto sustituyendo los límites:

10 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Potencial eléctrico debido a un disco con carga uniforme:

11 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM L dirección de dl esta dada por: Como dl= -dy, puesto que esta θ=180°: Por lo tanto únicamente se tiene componente en y

12 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Al resolver el potencial en el punto A, y sustituyendo j.dl por -dy Como es una integral impropia al tener límites en infinito, para que la integral converja, debemos obtener, a un límite finito

13 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Resolviendo la integral con el límite finito y' Sustituyendo, el potencial en un punto con distancia b generado por una superficie circular de radio r 0

14 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Diferencia de potencial entre dos puntos producida por una superficie infinita. De la trayectoria l 1, l 2 y l 3

15 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM La trayectoria solo tiene componentes en el eje Y. Las trayectoria de los ejes x, y, z son.

16 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Por lo tanto la diferencia de potencial de los puntos A hacia B, solo tiene componente en y, por lo que se reduce la expresión de la superficie con densidad de carga superficial Integrando en los límites, la diferencia de potencial V AB para una superficie infinita es:

17 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Se cumple que la diferencia de potencial es De acuerdo a la trayectoria, se tiene que: Diferencia de potencial entre dos puntos producida por una línea infinita cargada uniformemente.

18 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Las trayectorias en coordenadas cilíndricas Del análisis se concluye que solo se tiene componente en la dirección de dr

19 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Sustituyendo E y resolviendo la integral Por lo tanto sustituyendo los límites, la diferencia de potencial entre dos puntos para una línea infinita:

20 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Potencial eléctrico a dos superficies cargadas iguales y de signo contrario: Se aclara que realmente son dos superficies, por lo que se debe aplicar el principio de superposición La diferencia de potencial es

21 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Potencial eléctrico a dos superficies cargadas iguales y de signo contrario: Si C y D son dos puntos sobre las placas, la diferencia de potencial de V CD

22 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Ing. Catarino Fernando Pérez Lara Facultad de Ingeniería, UNAM Próxima sesión: 1.10 El gradiente de potencial.