Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas Pablo Flores Martínez Departamento de Didáctica de la Matemática Universidad de Granada www.ugr.es/local/pflores pflores@ugr.es

Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas PROGRAMA 1ª Parte Genérica 1. Innovación y Calidad en Educación Secundaria. 2. Procesos de Investigación Educativa I (modelos cuantitativos) 3. Procesos de investigación Educativa II (modelos cualitativos) 4. Instrumentos de recogida de datos en educación (encuesta, entrevista, observación, etc.) 5. Tipos de informes y proyectos (fuentes de datos y tipos de informes y proyectos de investigación). 2ª Parte Específica a) Innovación en Educación Matemáticas b) Recursos y Materiales didácticos para innovar c) Investigación en Enseñanza de las Matemáticas

Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas Sesión Contenido 2ª Parte 1) 21/1 Presentación. Innovación en Educación Matemática 2) 21/1 Materiales y Recursos en Ed. Matemática 3) 25/1 Materiales enseñanza de Números 4) 28/1 Materiales enseñanza de la Geometría 5) 28/1 Materiales enseñanza del símbolo 6) 01/2 Nuevas tecnologías en Ed. Matemática 7) 02/2 Proyecto de Innovación 8) 04/2 Investigación en Educación Matemática (a) (b) (c)

Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas Ideas del curso: El Profesor se va a enfrentar a: - Cambios curriculares (tiene que estar abierto críticamente a ellos) - Situaciones novedosas que requieren innovar, teniendo en cuenta Déficit educativos observados, problemas educativos Líneas prioritarias curriculares Lo que se ha investigado sobre el problema Conocer recursos educativos adecuados

Planos y situaciones en la enseñanza Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas. Sesión 8: Investigación en educación matemática Planos y situaciones en la enseñanza Enseñanza (práctica, innovación) e Investigación (teoría): problemas, fuentes, resultados Conclusiones

Planos y situaciones en la enseñanza Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas. Sesión 8: Investigación en educación matemática Planos y situaciones en la enseñanza Enseñanza (práctica, innovación) e Investigación (teoría): problemas, fuentes, resultados Conclusiones 6

Un problema para la enseñanza de la proporcionalidad Dos pastores que tienen 5 y 3 panes, respectivamente, se encuentran a un cazador hambriento, sin comida, con quien comparten sus panes y comen igual cantidad los tres. Al despedirse el cazador les da 8 monedas ¿Cómo se las deben repartir los dos pastores? EJERCICIO 1: * Resolverlo * ¿Qué preguntas harán los alumnos si lo planteamos en clase?

Formas en que resuelven los alumnos A: Resuelven por reparto proporcional B: Hacen preguntas sobre las condiciones: A. ¿Cada pan vale una moneda? B. ¿Tienen que repartir todo el dinero? C. ¿Todos reciben la misma cantidad de monedas, ya que reciben igual cantidad de pan?

RESOLUCIÓN POR PROPORCIONALIDAD Dos pastores que tienen 5 y 3 panes, respectivamente, se encuentran a un cazador hambriento, sin comida, con quien comparten sus panes y comen igual cantidad los tres. Al despedirse el cazador les da 8 monedas ¿Cómo se las deben repartir los dos pastores? Pastor A Pastor B Cazador: Tienen que repartir en la proporción que han dado. Mientras A ha dado 7 (tercios) B ha dado 1 (tercios) Luego se repartirán 7 monedas para A y 1 para B

Posiciones al resolver a) Alumnos aplicados: hay que resolver problema empleando sólo estos datos, haciendo uso de teoría matemática tratada en el curso (SITUACIÓN DE ENSEÑANZA) b) Consumidores: se plantean cuestiones sobre cuándo se sentirían satisfechos (SITUACIÓN COTIDIANA)

SITUACIÓN COTIDIANA PROBLEMA Sujetos pacientes: - Pastores y cazador Sujeto experto: Perito (Matemático / ecónomo, etc.)

SITUACIÓN DE ENSEÑANZA PROBLEMA Sujetos pacientes: - Alumnos Sujeto experto: Profesor

SITUACIÓN DE ENSEÑANZA Sujetos pacientes = los alumnos, (dirigido) obligados por el profesor a buscar una solución. Cuya validez la establece el profesor, Luego los alumnos tienen que “adivinar” cuál es la solución que el profesor considera adecuada. Sujeto experto = profesor (director)

RESUMEN Cierto paralelismo entre Situación Cotidiana y Situación de Enseñanza, Pero: Debemos distinguir Matemática que se enseña (S. Enseñanza) de la Matemática que se utiliza (S. Cotidiana) Matemática cotidiana es conocimiento práctico, derivada de una Matemática teórica El conocimiento se valida por consenso de los sujetos del sistema correspondiente

PRACTICO TEÓRICO PROBLEMA MATEMÁTICO PLANO TEÓRICO SUBYACENTE AL PRÁCTICO Al SISTEMA COTIDIANO, el SISTEMA MATEMÁTICO PRACTICO PROBLEMA Sujeto paciente: Pastores y cazador Sujeto experto: PERITO CONOCIMIENTO EXPERTO PROBLEMA MATEMÁTICO TEÓRICO

CONOCIMIENTO DEL PROFESOR PLANO TEÓRICO SUBYACENTE AL PRÁCTICO Al SISTEMA DE ENSEÑANZA, el SISTEMA DIDÁCTICO INNOVACIÓN PRACTICO PROBLEMA Sujetos pacientes: Alumnos Sujeto experto: PROFESOR CONOCIMIENTO DEL PROFESOR INVESTIGACIÓN TEÓRICO Investigador en Didáctica de la Matemática PROBLEMA de Enseñanza

PLANO TEÓRICO SUBYACENTE AL PRÁCTICO PLANO MATEMÁTICO (P.teórico, Investigación) subyace a Sistema cotidiano (P. Práctico): Hace abstracción de algunas condiciones y estudia forma de resolver categorías de problemas similares Su intención es obtener teorías sobre estas categorías de problemas. PLANO DIDÁCTICO (P. Teórico, Investigación) subyace a Sistema de enseñanza (P. Práctico): Hace abstracción de condiciones particulares de cada aula, para estudiar forma de resolver problemas sobre aprendizaje y enseñanza Su intención es obtener teorías sobre los problemas de enseñanza y aprendizaje de conceptos

SISTEMA MATEMÁTICO PROBLEMA COTIDIANO TEORIZAR ABSTRAER PROBLEMA ENSEÑANZA SISTEMA DIDÁCTICO PLANO PRÁCTICO PLANO TEÓRICO

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Divide y … Perderás Muro ? PROFESOR INVESTIGADOOR Puente ? PRÁCTICA Cómo enseñar a Iván a resolver: ¿Qué porción de ¾ es 1/5? Qué se enseña de la división de fracciones Qué saben los profesores sobre la división de fracciones Puente ? Nuestra sociedad ha sufrido importantes cambios que condicionan los producidos en el sistema educativo: Cambios y reformas constantes, cambios en la estructura del sistema, en las concepciones educativas y curriculares, renovación en los modos y maneras de ‘hacer’ y de relación, utilización de nuevos lenguajes, nuevos recursos, etc. El rápido avance da la ciencia y la tecnología nos lleva a la necesidad de la formación a lo largo de toda la vida. LOE y LEA: Apartados de formación, reconocen el derecho y el deber de formarse al profesorado, y la responsabilidad de las Administraciones Educativas. 1986: Creación de los CEPs 1992: I Plan Andaluz de Formación del Profesorado 1997: Sistema Andaluz de Formación del Profesorado 2003: II Plan Andaluz de Formación. Red Andaluza de formación: La formación del profesorado, como instrumento al servicio de la calidad de la educación. Se busca un modelo profesional que debe caracterizarse por su actividad reflexiva, deliberadora e investigadora. Las competencias profesionales se construyen a lo largo de toda la carrera docente si la experiencia se integra con la reflexión, la deliberación, la indagación y el trabajo cooperativo. Desde esta perspectiva, se presenta este proyecto. PRÁCTICA TEORÍA 20

Relación Teoría – Práctica investigación - innovación EL PROFESOR PRÁCTICA EL INVESTIGADOR Modifica   (Malara y Zan, 2002)

El profesor analiza la situación desde la Práctica Iván resuelve el problema si: Interpreta Es de división “ es de ” Interpreta: Significado del resultado Unidad de referencia Traduce Algoritmo Aplica Expresa la división

Fuentes: Revistas de profesor Alcalá (2002), realizar práctica, manipulativa, antes de algoritmos. Enfatiza la interpretación ¿CÓMO ENSEÑAR LA DIVISIÓN DE FRACCIONES?

Feinberg (1980) Propuesta para enseñar división de fracciones: Cuántos lazos de a) ¼ con cinta de ¾ b) ¼ con 5/8 c) 2/3 con 5/6 d) ¼ con 5/6 DND: Dividir numeradores y denominadores

Resolución intuitiva de la medida Experiencias en cursos de formación de profesores (Gregg & Gregg, 2007) Cuántas raciones de 2/3 de galleta con 5 galletas 3 6 1/2 4 7 1 2 5 Resolución intuitiva de la medida Conteo, Medida

Igualando denominadores Experiencias en cursos de formación de profesores (Gregg & Gregg, 2007) Cuántas raciones de 2/3 de galleta con 15/3 galletas Hay 15 trozos de (1/3) la mitad de la ración, luego 15 medias raciones ID Igualando denominadores

Resolución intuitiva igualando denominadores Experiencias en cursos de formación de profesores (Gregg & Gregg, 2007) Cuántas raciones de 2/3 de galleta con 15/3 galletas 1 2 4 5 ID y midiendo 3 6 7 1/2 Resolución intuitiva igualando denominadores

Experiencias en cursos de formación de profesores (Gregg & Gregg, 2007) Justificación formal del algoritmo IM (Tirosh, 2000) Se pintan 2/5 de habitación en ¾ de hora. ¿Cuánto se pintará en 1 hora? IM Habitación Horas x4 :3 1 Habitación Horas

INVESTIGACIÓN: Fuentes: Revistas, Libros, Jornadas ¿QUÉ SABEN LOS PROFESORES SOBRE LA DIVISIÓN DE FRACCIONES? HANDBOOK: Resume de investigaciones realizadas sobre cada tema Beth et all. 1992, Lamon, 2007, Greer, 1992 for the learning of mathematics  

Aportes importantes desde la teoría . Diversas “personalidades de las fracciones” (medida, cociente, razón y operador) . SENTIDO NUMÉRICO . La división se encuadra dentro de los problemas de estructura multiplicativa de fracciones . Importancia de relacionar los problemas con acciones y estas con los símbolos y sus reglas de cálculo

Personalidades de las fracciones Parte – todo: Relación entre parte y unidad Me dieron un trozo que eran los 3/8 de la tarta Cociente: División indicada, reparto Repartir 3 tartas entre 8 personas Razón Relación parte-parte, o todo-todo; proporcionalidad) Se dan en la proporción de 3 a 8 Operador: división y multiplicación sobre un número Se comió los 3/8 de una tarta de 2 kilos 3 8 a b 2000 250 750 x 3/8 : 8 x 3

Sentido numérico (Sowder, 1989) Poseer una red conceptual que relaciona expresión del número con habilidad de utilizar tamaño de números para: Juzgar resultados de problemas numéricos, Generar algoritmos no convencionales, Relacionar números con propiedades de operaciones, etc. SENTIDO NUMÉRICO Numeración Tamaño Cálculo Estimación Sentido de número racional: - sensibilidad para captar significados del número racional - habilidad para estimar, resolver proporciones y problemas pensar cualitativa y multiplicativamente, traducir entre interpretaciones y representaciones, dar sentido y tomar decisiones y juicios razonables (Lamon, 2007)

Greer, 1992 Estructura Multiplicativa Difícil separar problemas de multiplicación y división. Problema de multiplicación puede requerir una división Estudiar y analizar conjuntamente multiplicación y división Problemas de estructura multiplicativa son: Proporcionalidad directa Producto de medidas

Greer, 1992 Estructura Multiplicativa

Estructura Multiplicativa: División Proporcionalidad directa Ejemplo: ¿Cuántos quintos de litro caben en tres cuartos de litro? Cap. (l.) Recip. (Nº) Tasa Esquema 1/5 3/4 1 x Dos divisiones: Medida y Reparto Producto de medidas Ejemplo: ¿Cuánto mide altura de rectángulo de base 1/5 y área ¾? Esquema: 1/5 (Long., base) . b (Long. Altura) = 3/4 (Superficie)

Proporcionalidad Directa Multiplicación División 3 ¾ (Rec.)  1/5 (l./rec.) = 3/4 l. Resta repetida: MEDIDA Suma repetida 3/4 litros, 1/5 por recipiente, ¿Cuántos recipientes? 1/5 l. en cada recipiente, 3 ¾ recipientes, ¿Cuántos litros? 3/4 litros, 3 ¾ recipientes. ¿Cuántos litros por recipiente? REPARTO, PARTITIVA

División Medida y Algoritmo ID ¿Cuántos 1/5 l. caben en ¾ l.? 1/5 3/4 3/4 1 3 3/4 2 ID Cuántos 4 (1/20 l.) caben en 15 (1/20 l.)

División Medida y Algoritmo IM ¿Cuántos 1/5 caben en ¾ ? IM Dos pasos: ¿Cuántos 1/5 l. caben en 3 l.? ¿Cuántos 1/5 l. en ¾ l.?

División Reparto y Algoritmos (Inverso de fracción de fracción) ¿Qué capacidad de recipiente si con ¾ l. se han llenado 3 ¾ (15/4) r.? IM Transformamos el problema en un reparto con divisor entero x4 Para saber lo que corresponde a un recipiente, dividimos por 15

División Reparto y Algoritmos (Inverso de fracción de fracción) ¿Qué capacidad de recipiente si con ¾ l. se han llenado 3 ¾ (15/4) r.? IM Para poder repartir, convertimos el número de recipientes en unidad, multiplicando por inverso, dividendo y divisor. El problema se reduce a hacer los 4/15 de 3/4

¿Cuánto mide altura si superficie es 3/4 y base 1/5? División: Producto Cartesiano inverso (Medidas) ¿Cuánto mide altura si superficie es 3/4 y base 1/5? DND El número que multiplicado por 15 da 15 (numerador) es 1, y el que multiplicado por 4 da 20 (denominador) es 5 1/20 1/5 3/4 15/20 15/4

Conclusiones Planos y situaciones en la enseñanza Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas. Sesión 8: Investigación en educación matemática Planos y situaciones en la enseñanza Enseñanza (práctica, innovación) e Investigación (teoría): problemas, fuentes, resultados Conclusiones 42

Conclusiones La INVESTIGACIÓN pretende crear conocimiento que ayude a profesores. Tiene su propia lógica, sus documentos, fuentes, sociedades, etc. La práctica docente pretende educar matemáticamente a los alumnos. Tiene su propia lógica, sus fuentes, sociedades, etc. La INNOVACIÓN pretende explorar nuevos métodos para resolver problemas de la práctica, de la enseñanza Debe haber equilibrio entre interés de investigadores e intereses de profesores, un clima abierto para explorar modos de enseñanza e innovación El profesor debe conocer resultados de investigación, constructos que le sean útiles para su enseñanza (significados o personalidad de las fracciones, sentido numérico, etc.) El investigador necesita conocer cómo se enseña, sus problemas, atender a la enseñanza y divulgar sus investigaciones para que sean útiles para los profesores

Textos Gutiérrez, 1996 Kilpatrick, J. 1995 Flores, 2008 Innovación docente e investigación educativa en Matemáticas Sesión 7: Proyecto de innovación Textos Gutiérrez, 1996 Kilpatrick, J. 1995 Flores, 2008