Tema 4 Polinomios

El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar informaciones. Lenguaje ordinario Lenguaje algebraico El triple de un número 3x El cuadrado de la suma de dos números (a + b)2 Dos números naturales consecutivos n, n + 1 Hoy tengo 15 años. ¿Cuántos años tendré cuando pasen x años? 15 + x Hoy tengo 15 años. ¿Cuántos años tenía hace y años? 15 – y Un número par 2n Área del triángulo de base b y altura h b·h 2

Variables en Álgebra Una variable es una letra que se utiliza para representar uno o más números. Los números son los valores de la variable. Una expresión variable o expresión algebraica es una colección de números, de variables y de operaciones. Aquí están algunos ejemplos. OPERACIÓN SIGNIFICADO EXPRESIÓN 8y 8 • y 8(y) 8 veces y Multiplicación 16 : b 16 dividido por b División 16 b 4 + s 4 más s Suma 9 – x 9 menos x Resta

ap · aq = ap+q ap · bp = (a·b)p (ap)q = ap·q En las operaciones algebraícas las letras representan números. Las propiedades de las operaciones con números siguen siendo válidas Suma Producto Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) (a · b)· c = a ·(b · c) Conmutativa a + b = b + a a · b = b · a Distributiva a·(b + c) = a·b + a·c (a + b)·c = a·c + b·c El producto de potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base y por exponente la suma de los exponentes. ap · aq = ap+q El producto de potencias del mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo. ap · bp = (a·b)p La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente el producto de los exponentes. (ap)q = ap·q

Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Si a y b son las medidas de los lados de un rectángulo, 2a + 2b es la expresión algebraica que nos da el perímetro del rectángulo. Su valor numérico para a = 3 y b = 2 nos da el perímetro de un rectángulo de esas dimensiones: 2 . 3 + 2 . 2 = 10 b a

Valor numérico de una expresión algebraica Sustituir cada una de las variable en una expresión por un número se llama evaluar la expresión. El número que resulta es el valor numérico de la expresión. EJEMPLO Valor numérico de una expresión algebraica Evalúa la expresión cuando y = 2. a. 8y b. c. y + 3 d. 14 – y 10 y SOLUCIÓN a. 8y = 8(2) Sustituye 2 por y. = 16 Simplifica. c. y + 3 = 2 + 3 Sustituye 2 por y. = 5 Simplifica. b. = 5 Sustituye 2 por y. Simplifica. d. 14 – y = 14 – 2 Sustituye 2 por y. = 12 Simplifica.

EJEMPLO Evaluar una expresión geométrica El perímetro de un triángulo es igual a la suma de las longitudes de sus lados: a + b + c. Calcula el perímetro del triángulo de la figura. SOLUCIÓN Escribe la expresión. Perímetro = a + b + c Sustituye los valores. = 8 + 15 + 17 = 40 Simplifica. El triángulo tiene un perímetro de 40

l l Área del cuadrado: A = l 2 Volumen del Cubo: V = l 3 EJEMPLO Calcular el volumen El acuario tiene forma de cubo. Cada arista mide 2,5 dm. Calcula el volumen del acuario. SOLUCIÓN V = l 3 Escribe la fórmula del volumen. = 2,53 Sustituye 2.5 por l. = 15.625 El volumen del acuario es 15,625 dm3.

Monomios Un monomio es una expesión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y potenciación de exponente natural. El grado de un monomio respecto a una letra es su exponente. El grado de un monomio es la suma de sus exponentes. Grado respecto de la letra x 8x2y5 Grado respecto de la letra y El grado de este monomio es 2 + 5 = 7 Llamamos coeficiente de un monomio a su parte numérica y parte literal al resto del monomio Grado –5x3 Coeficiente Parte literal

Monomios: suma y diferencia Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. La suma o diferencia de varios monomios semejantes es otro monomio semejante. 12x2y – 3x2y + 6x2y = (12 – 3 + 6)x2y = 15x2y 5x2 + 7xz = 5x2 + 7xz No son semejantes. No se pueden agrupar 12x2y – 3x2y + 6x2y + 5x2 + 7xz = 15x2y + 5x2 + 7xz

+ = + = Interpretación de la suma de monomios x 5 + 3 5 x 3 x 5x 3x 8x Semejantes 5 x x 5 y y 5x + y2 = No semejantes 5x + y2

Producto y cociente de monomios El producto de monomios es otro monomio que tiene: como coeficiente, el producto de los coeficientes. como parte literal, las letras que aparecen en los monomios con exponente igual a la suma de los exponentes con que figura en los factores. x3 · x5 = x3 +5 = x8 5x2 · 7x4 = 5 · x2 · 7 · x4 = 35 x6 –2xy2 · 5x2y3 · 3xt = (–2 · 5 · 3) (x · x2 · x) (y2 · y3) t = –30x4y5t El cociente de dos monomios existe siempre que el grado del monomio dividendo sea mayor o igual que el del monomio divisor. El resultado es otro monomio con coeficiente el cociente de los coeficientes y grado la diferencia de los grados. 5x4 : 2x = x4–1 = x3. 5 2 2x3 : x3 = 2x3–3 = 2.

1. Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de monomios. Los monomios que lo forman se llaman términos del polinomio. Los polinomios en los que sólo aparece una letra o variable los designaremos con letras mayúsculas indicando entre paréntesis la variable. Por ejemplo P(x) = 5x7 – 4x3 + 5 es un polinomio en la variable x. Decimos que un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes. P(x) = 2x3 + 3x3 – 3x2 + 5x2 – 1 se puede reducir sumando sus monomios semejantes P(x) = 5x3 + 2x2 – 1

Los polinomios se escriben generalmente con los términos puestos en orden descendente, del grado más grande al grado más pequeño. El grado de cada término de un polinomio es el exponente de la variable. El grado se un polinomio es el mayor grado de sus términos. El término independiente de un polinomio es el monomio de grado cero (es decir, el número que va sin letra). Grado: 3 Término independiente: 7 2x3 + 5x2 – 4x + 7

Un polinomio de grado n es completo si contiene todos los monomios de grado inferior a n. Es ordenado si los monomios están escritos de mayor a menor grado, o al revés; P(x) = x5 + x no es completo, sí ordenado. P(x) = x5 + x no es completo, sí ordenado. P(x) = 5x3 – 2x2 + 6x – 8 es completo y ordenado. El polinomio opuesto de P(x), representado por –P(x), se obtiene cambiando de signo todos los coeficientes de P(x). P(x) = 5x3 – 2x2 + 6x – 8 Polinomio opuesto: –P(x) = –5x3 + 2x2 – 6x + 8

EJEMPLO Identificar coeficientes de polinomios Identifica los coeficientes de –4x2 + x3 + 3. SOLUCIÓN. Primero escribe el polinomio en forma ordenada. Escribe cada grado, aunque debas utilizar un coeficiente cero. –4x2 + x3 + 3 = (1)x3 + (–4)x2 + (0)x + 3 Los coeficientes son 1, –4, 0, y 3.

Un polinomio con solamente un término se llama monomio. Un polinomio con dos términos se llama binomio. Un polinomio con tres términos se llama trinomio. EJEMPLO Clasificar polinomios POLINOMIO GRADO CLASIFICADO CLASIFICADO POR POR GRADO Nº DE TÉRMINOS a) 6 0 constante monomio b) –2x 1 lineal monomio c) 3x + 1 1 lineal binomio d) –x2 + 2x – 5 2 cuadrático trinomio e) 4x3 – 8x 3 cúbico binomio f) 2x4 – 7x3 – 5x + 1 4 cuártico polinomio

Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio P(x) para un valor de la variable x = a se obtiene sustituyendo x por a y operando. El valor numérico del polinomio P(x) = 2x3 – 3x2 + 1 para x = 2 se obtiene sustituyendo x por 2 y operando. Se expresa P(2) y su valor es: P(x) = 2x3 – 3x2 + 1 P(2) = 2·23 – 3·22 + 1 = 16 – 12 + 1 = 5

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2. Suma y resta de polinomios Para sumar o para restar dos polinomios, sumar o restar los términos semejantes. Puedes utilizar un formato vertical o un formato horizontal. EJEMPLO Sumar polinomios Hallar la suma. Escribir la respuesta en forma ordenada. a. (5x3 – x + 2x2 + 7) + (3x2 + 7 – 4x) + (4x2 – 8 – x3) b. (2x2 + x – 5) + (x + x2 + 6) SOLUCIÓN. 5x3 + 2x2 – x + 7 3x2 – 4x + 7 –x3 + 4x2 – 8 a. Formato vertical: Escribir cada expresión en forma ordenada. Alinear los términos semejantes. 4x3 + 9x2 – 5x + 6 b. Formato horizontal: Sumar los términos semejantes. (2x2 + x – 5) + (x + x2 + 6) = (2x2 + x2) + (x + x) + (–5 + 6) = 3x2 + 2x + 1

Restar polinomios EJEMPLO Halla las restas: a. (–2x3 + 5x2 – x + 8) – (–2x3 + 3x – 4) b. (x2 – 8) – (7x + 4x2) c. (3x2 – 5x + 3) – (2x2 – x – 4) SOLUCIÓN. a. Utilizar un formato vertical. Para restar, sumas el opuesto. Esto significa que puedes multiplicar cada término en el polinomio restado por –1 y sumar. (–2x3 + 5x2 – x + 8) – (–2x3 + 3x – 4) –2x3 + 5x2 – x + 8 + 2x3 – 3x + 4 Suma el opuesto 5x2 – 4x + 12

c. Utilizar un formato horizontal. EJEMPLO Restar polinomios Halla las restas: a. (–2x3 + 5x2 – x + 8) – (–2x3 + 3x – 4) b. (x2 – 8) – (7x + 4x2) c. (3x2 – 5x + 3) – (2x2 – x – 4) SOLUCIÓN. (x2 – 8) – (7x + 4x2) x2 – 8 + –4x2 – 7x b. Suma el opuesto –3x2 – 7x – 8 c. Utilizar un formato horizontal. (3x2 – 5x + 3) – (2x2 – x – 4) = 3x2 – 5x + 3 – 2x2 + x + 4 = (3x2 – 2x2) + (–5x + x) + (3 + 4) = x2 – 4x + 7

3. Multiplicación de Polinomios Ya sabemos cómo multiplicar un polinomio por un monomio usando la propiedad distributiva. (3x)·(2x2 – 5x + 3) = (3x)(2x2) + (3x)(–5x) + (3x)(3) = 6x3 – 15x2 + 9x En la actividad siguiente, verás cómo un modelo de áreas ilustra la multiplicación de dos binomios.

Multiplicación de dos binomios Actividad El rectángulo mostrado en la derecha tiene una anchura de (x + 2) y una altura de (2x + 1). Copia el modelo. ¿Cuál es el área de cada parte del rectángulo? 1 Halla el producto de (x + 2) y (2x + 1) por suma de las áreas de las piezas para conseguir una expresión para el área total. 2 Copia y completa la igualdad: (x + 2) (2x + 1) = ? 3 Utilizar un modelo del área para multiplicar (x + 3) y (2x + 4). 4

Otra manera de multiplicar dos binomios es utilizar la propiedad distributiva dos veces. Primero: (a + b)·(c + d) = a(c + d) + b(c + d). Entonces: a(c + d) = ac + ad y b(c + d) = bc + bd. Esto demuestra que (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd. Esta propiedad se puede también aplicar a los binomios de la forma a – b o c – d. EJEMPLO Propiedad distributiva Halla el producto (x + 2)(x – 3). SOLUCIÓN (x + 2) (x – 3) = x(x – 3) + 2(x – 3) (b + c)a = ba + ca = x2 – 3x + 2x – 6 a(b – c) = ab – ac = x2 – x – 6 Combina términos semejantes.

(3x + 4)·(x + 5) = 3x2 + 15x + 4x + 20 = 3x2 + 19x + 20 Cuando multiplicas dos binomios, puedes recordar los resultados dados por la propiedad distributiva (3x + 4)·(x + 5) = 3x2 + 15x + 4x + 20 = 3x2 + 19x + 20 EJEMPLO Multiplicar binomios (3x – 4)(2x + 1) = 6x2 + 3x – 8x – 4 Simplifica. = 6x2 – 5x – 4

 x – 2 2x2 – 6x – 10 –x3 + 3x2 + 5x –x3 + 5x2 – x – 10 EJEMPLO Multiplicar polinomios verticalmente Halla el producto (x – 2)(5 + 3x – x2). SOLUCIÓN Alinea los términos en columnas. –x2 + 3x + 5  x – 2 Forma ordenada 2x2 – 6x – 10 –2(–x2 + 3x + 5) –x3 + 3x2 + 5x x(–x2 + 3x + 5) –x3 + 5x2 – x – 10 Combina términos semejantes.

(4x2 – 3x – 1)(2x – 5) = 4x2(2x – 5) – 3x(2x – 5) – 1(2x – 5) EJEMPLO Multiplicar polinomios horizontalmente Halla el producto (4x2 – 3x – 1)(2x – 5). SOLUCIÓN Multiplica 2x – 5 por cada término de 4x2 – 3x – 1. (4x2 – 3x – 1)(2x – 5) = 4x2(2x – 5) – 3x(2x – 5) – 1(2x – 5) = 8x3 – 20x2 – 6x2 + 15x – 2x + 5 = 8x3 – 26x2 + 13x + 5

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4. Productos notables de polinomios Algunos pares de binomios tienen productos especiales. Si aprendes a reconocer estos pares, encontrar el producto de dos binomios será a veces más rápido y más fácil. Actividad Productos notables de binomios 1 Calcula los siguientes productos: 1. (x – 2)(x + 2) (2n + 3)(2n – 3) (4t – 1)(4t + 1) (x + y)(x – y) 2. (x + 3)2 (3m + 1)2 (5s + 2)2 (x + y)2 3. (z – 2)2 (6x – 4)2 (5p – 7)2 (x – y)2 2 Describe cualquier patrón que veas en cada grupo.

(a + b)(a – b) = a2 – b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 PRODUCTOS NOTABLES SUMA POR DIFERENCIA (a + b)(a – b) = a2 – b2 Ejemplo: (3x – 4)(3x + 4) = 9x2 – 16 CUADRADO DE UNA SUMA (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Ejemplo: (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 CUADRADO DE UNA DIFERENCIA (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Ejemplo: (2x – 6)2 = 4x2 – 24x + 36

El modelo de áreas mostrado en la figura da una representación geométrica del cuadrado de una suma (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. El área del cuadrado grande es (a + b)2, que es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados más pequeños y los dos rectángulos. Observa que los dos rectángulos con área ab producen el término medio 2ab.

(a – b)(a + b) = a2 – b2 (5t – 2)(5t + 2) = (5t)2 – 22 = 25t2 – 4 EJEMPLO Suma por diferencia Halla el producto (5t – 2)(5t + 2). SOLUCIÓN (a – b)(a + b) = a2 – b2 Escribe la fórmula. (5t – 2)(5t + 2) = (5t)2 – 22 Aplica la fórmula. = 25t2 – 4 Simplifica. COMPRUEBA. Haz la multiplicación: (5t – 2)(5t + 2) = (5t)(5t) + (5t)(2) + (–2)(5t) + (–2)(2) Multiplica. = 25t2 – 4 Simplifica.

(2x – 7y)2 = (2x)2 – 2(2x)(7y) + (7y)2 EJEMPLO Cuadrado de un binomio Halla los productos. a) (3n + 4)2 b) (2x – 7y)2 SOLUCIÓN a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Escribe la fórmula. (3n + 4)2 = (3n)2 + 2(3n)(4) + 42 Aplica la fórmula. = 9n2 + 24n + 16 Simplifica. b) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Escribe la fórmula. (2x – 7y)2 = (2x)2 – 2(2x)(7y) + (7y)2 Aplica la fórmula. = 4x2 – 28xy + 49y2 Simplifica.

Los productos notables pueden ayudar a calcular algunas multiplicaciones mentalmente. EJEMPLO Aplicación al cálculo mental Utiliza cálculo mental para hallar los productos. a) 17 • 23 b) 292 SOLUCIÓN a) 17 • 23 = (20 – 3)(20 + 3) Escribe como suma por diferencia. = 400 – 9 = 391 Aplica la fórmula. b) 292 = (30 – 1)2 Escribe como cuadrado de una diferencia. = 900 – 60 + 1 = 841 Aplica la fórmula.

Modelizar la Factorización de (ax)2 + 2abx + b2 Actividad 1 Utilizar azulejos algebraicos para modelizar x2 + 6x + 9. 2 Disponer los azulejos para formar un cuadrado. 3 La longitud de cada lado del cuadrado es ? . Por tanto: x2 + 6x + 9 = (?)·(?) = (?)2

FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES Factorización usando productos notables Las fórmulas de los productos notables se pueden utilizar para factorizar polinomios. FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES DIFERENCIA DE CUADRADOS a2 – b2 = (a + b)(a – b) Ejemplo: 9x2 – 16 = (3x + 4)(3x – 4) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Ejemplo: x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 Ejemplo: 4x2 – 24x + 36 = (2x – 6)2

m2 – 22 = (m + 2)(m – 2) (2p)2 – 52 = (2p + 5)(2p – 5) 2(25 – 49x2) EJEMPLO Factorizar la diferencia de cuadrados a. m2 – 4 = m2 – 22 Escríbelo como a2 – b2. = (m + 2)(m – 2) Factoriza usando la fórmula. b. 4p2 – 25 = (2p)2 – 52 Escríbelo como a2 – b2. = (2p + 5)(2p – 5) Factoriza usando la fórmula. c. 50 – 98x2 = 2(25 – 49x2) Saca factor común 2. = 2[52 – (7x)2] Escríbelo como a2 – b2. = 2(5 + 7x)(5 – 7x) Factoriza usando la fórmula.

x2 – 2(x)(2) + 22 = (x – 2)2 (4y)2 + 2(4y)(3) + 32 = (4y + 3)2 EJEMPLO Factorizar un trinomio cuadrado perfecto a. x2 – 4x + 4 = x2 – 2(x)(2) + 22 Escríbelo como a2 – 2ab + b2. = (x – 2)2 Factoriza usando la fórmula. b. 16y2 + 24y + 9 = (4y)2 + 2(4y)(3) + 32 Escríbelo como a2 + 2ab + b2. = (4y + 3)2 Factoriza usando la fórmula. c. 3x2 – 30x + 75 = 3(x2 – 10x + 25) Saca factor común 3. = 3[x2 – 2(x)(5) + 52] Escríbelo como a2 – 2ab + b2. = 3(x – 5)2 Factoriza usando la fórmula.

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EJERCICIOS Factoriza las expresiones: 1. x2 – 9 2. t2 + 10t + 25 3. w2 – 16w + 64 4. 16 – t2 5. 6y2 – 24 6. 18 – 2z2 Diferencia de cuadrados. Factoriza las expresiones: 7. n2 – 16 8. 100x2 – 121 9. 6m2 – 150 10. 60y2 – 540 11. 16 – 81r2 12. 98 – 2t2 13. w2 – y2 14. 9t2 – 4q2 15. –28y2 + 7t2 Cuadrados perfectos. Factoriza las expresiones: 16. x2 + 8x + 16 17. x2 – 20x + 100 18. y2 + 30y + 225 19. b2 – 14b + 49 20. 9x2 + 6x + 1 21. 4r2 + 12r + 9 22. 25n2 – 20n + 4 23. 36m2 – 84m + 49 24. 18x2 + 12x + 2 25. 48y2 – 72xy + 27x2 26. –16w2 – 80w – 100 27. –3k2 + 42k – 147

5. División de Polinomios Para dividir un polinomio por un monomio, dividir cada término por el monomio, guardando los mismos signos entre los términos. Simplificar cada fracción. División de polinomios Actividad 1 Con un compañero, discutir cómo conseguir del problema original de la división la expresión simplificada: 2 Explicar cómo podrías utilizar la multiplicación para comprobar eso:

EJEMPLO Dividir un polinomio por un monomio Divide 12x2 – 20x + 8 por 4x. SOLUCIÓN Divide cada término del numerador por 4x. Halla factores comunes. Divide por el factor común. Forma simplificada

Puedes utilizar la división larga de polinomios para dividir los polinomios que no tienen factores comunes. Primero recuerda el proceso para la división larga en aritmética. Divide 658 por 28 6 5 8 2 8 5 6 2 3 9 8 EJEMPLO El algoritmo de la división 8 4 1 4 Divide 12x2 – 20x + 8 por 4x. SOLUCIÓN 12x2 – 20x + 8 4x 12x2 4x = 3x 12x2 3x – 5 – 20x Cociente –20x 4x = –5 – 20x + 8 Resto

Para restar (–x) de 2x, sumas x. EJEMPLO Dividir polinomios Divide x2 + 2x + 4 por x – 1. SOLUCIÓN 1. Piensa: = x x2 x x2 + 2x + 4 x – 1 2. Resta x(x – 1). x2 – x x + 3 Para restar (–x) de 2x, sumas x. 3x + 4 3. Baja + 4. Piensa: = 3 3x x 3x – 3 4. Resta 3(x – 1). 7 5. El resto es 7. Dividendo: x2 + 2x + 4 Divisor: x – 1 Puedes comprobar que se cumple la regla de la división: Dividendo = divisor · Cociente + Resto Cociente: x + 3 Resto: 7

6x2 + 0x – 11 x + 2 6x2 + 12x 6x – 12 –12x – 11 –12x – 24 13 EJEMPLO Dividir polinomios Divide 6x2 – 11 por x + 2. SOLUCIÓN Primero completa el polinomio dividendo con el término 0x: 6x2 – 11 = 6x2 + 0x – 11. 6x2 + 0x – 11 x + 2 1. Piensa: = 6x 6x2 x 6x2 + 12x 6x – 12 2. Resta 6x(x + 2). –12x – 11 3. Baja –11. Piensa: = –12 –12x x –12x – 24 13 4. Resta –12(x + 2). Dividendo: 6x2 – 11 5. El resto es 13. Divisor: x + 2 Cociente: 6x – 12 Resto: 13

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