Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María Uso de Función Generatriz Prof: Rodrigo Arriagada
Rodrigo Alejandro Arriagada Nuñez Fundamentos de Informática II ILI Definición La función generatriz es una transformación que permite condensar todos los valores de una secuencia {a0, a1,..., an,...} en una única función: Y dado a(z) podemos obtener a n como:
Rodrigo Alejandro Arriagada Nuñez Fundamentos de Informática II ILI Algebra Generatriz básica Supongamos que sabemos que la función generatriz para a n es a(z). ¿Cual es la función generatriz para a n−1 ?. Esta sería: donde hemos supuesto que la nueva secuencia valdrá cero en la primera componente.
Rodrigo Alejandro Arriagada Nuñez Fundamentos de Informática II ILI Identidades
Rodrigo Alejandro Arriagada Nuñez Fundamentos de Informática II ILI Transformaciones
Rodrigo Alejandro Arriagada Nuñez Fundamentos de Informática II ILI Ejemplo de aplicación Serie de Fibonacci –aun no podemos aplicar funciones generatrices porque la ecuación no es valida para todo n, por ejemplo no esta definida para 0 y 1. Lo que haremos será re-expresarla como:
Rodrigo Alejandro Arriagada Nuñez Fundamentos de Informática II ILI Ejemplo de aplicación ahora tomamos función generatriz de ambos lados multiplicando por z^2 ambos lados tenemos
Rodrigo Alejandro Arriagada Nuñez Fundamentos de Informática II ILI Ejemplo de aplicación es decir Con lo cual termina la primera etapa de la solución. Hemos mostrado como convertimos una recurrencia en una ecuación normal acerca de la función generatriz. ¿Como recuperar ahora la secuencia?. En este caso, notemos que F(z) se puede expandir en fracciones parciales
Rodrigo Alejandro Arriagada Nuñez Fundamentos de Informática II ILI Ejemplo de aplicación Ahora es fácil de invertir a partir de la tabla, resultando Tarea: Determine usted los coeficientes de la fracción parcial. Use numero aureo.