Matemáticas 4º ESO Opción B Binomio de Newton Tema 15.4 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B BINOMIO DE NEWTON Observar las potencias: Fijarse en los coeficientes: (a+b) = 1 1 1 (a+b) = a + b 1 1 2 2 2 (a+b) = a + 2.a.b + b 1 2 1 3 3 2 2 3 (a+b) = a + 3.a .b + 3.a.b + b 1 3 3 1 4 4 3 2 2 3 4 (a+b) = a + 4.a . b + 6.a . b + 4.a. b + b 1 4 6 4 1 ............ = ..................... Ya vistos por ser todos productos notables. Forman un triángulo llamado Triángulo de Tartaglia @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Propiedades 1.- El número de términos del desarrollo siempre es igual al “exponente + 1”. 2.- Los coeficientes numéricos forman siempre el Triángulo de Tartaglia, presentando simetría en su valor. 3.- El grado de todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio. 4.- El grado del primer término del binomio, de ‘a’, va disminuyendo desde el valor del exponente hasta cero. 5.- El grado del segundo término del binomio, de ‘b’, va aumentando desde cero hasta el valor del exponente. 6.- La suma de los grados de ‘a’ y de ‘b’ , en todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio. 7.- Si el binomio es una resta los términos de lugar par serán negativos 8.- Los coeficientes numéricos son todos ellos Combinaciones sin repetición: C m,n , donde ‘m’ es el exponente y ‘n’ varía de 0 a ‘m’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Expresión formal y ejemplo EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 m m (a+b) = C .a + C .a . b + C . a . b + ... + C . b m m m m Ejemplo 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 (7+ 5) = C .7 + C .7 . 5 + C . 7 . 5 + C . 7. 5 + C . 5 4 4 4 4 4 4 4 3 2 2 3 4 12 = 1. 7 + 4.7 .5 + 6.7 .5 + 4.7.5 + 1.5 , que se puede comprobar. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplos directos (x + 2)5 = C5,0 .x5 + C5,1 .x4 .2 + C5,2 .x3 .4 + C5,3 .x2 .8 + C5,4 .x .16 + C5,5 . 32 (x – 3)4 = C4,0 .x4 – C4,1 .x3 .3 + C4,2 .x2 .9 – C4,3 .x . 27 + C4,4 . 81 (4 – x)5 = C5,0 .45 – C5,1 .44 .x + C5,2 .43 . x2 – C5,3 .42 . x3 + C5,4 . 4. x4 – C5,5 . x5 (x + 1)17 = C17,0 .x17 + C17,1 .x16 + C17,2 .x15 + …. + C17,16 .x + C17,17 (x + 3)5000 = C5000,0 .x5000 + C5000,1 .x4999 .3 + C5000,2 .x4998 .9 + … + C5000,5000 . 35000 (– 2.x – 3)9 = C9,0 .(- 2x)9 + C9,1 .(- 2x)8 .(- 3) + C9,2 .(- 2x)3 .(- 3)2 +…. + C9,9 .(- 3)9 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Ejemplo práctico (Tema 17) EJEMPLO DE APLICACIÓN Se sabe que 7 de cada 10 personas tienen el carnet de conducir. Se toma una muestra aleatoria de 3 personas. Hallar la probabilidad de que 0 personas tengan el carnet. Hallar la probabilidad de que 1 personas tengan el carnet. Hallar la probabilidad de que 2 personas tengan el carnet. Hallar la probabilidad de que 3 personas tengan el carnet. Resolución La probabilidad (frecuencia relativa cuando un experimento se repite gran cantidad de veces) de que una persona cualquiera tenga el carnet es: P(Exito) = p = 7/10 = 0,70 por la Regla de Laplace. La probabilidad de que no lo tenga será: P(Fracaso) = 1 – P(E) = 1 – p = 1 – 0,70 = 0,30 = q @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B … EJEMPLO PRÁCTICO Tomar una muestra de 3 personas y ver si tienen o no el carnet de conducir es repetir el experimento de Bernouilli tres veces. (Se llama experimento de Bernouilli cuando sólo hay dos posibles resultados) Y ayudándonos por el Binomio de Newton: 3 0 3 1 2 2 2 3 3 ( 0,3 + 0,7 ) = C . 0,3 + C . 0,3 . 0,7 + C . 0,3 . 0,7 + C . 0,7 = 3 3 3 3 = (1.0,027) + (3.0,063) + (3.0,147) + (1.0,343) = = 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 , que son respectivamente las probabilidades de que tengan carnet de conducir 0, 1, 2 y 3 personas. Se cumple que: (0,3 + 0,7)3 = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) Como (0,3 + 0,7)3 = 13 = 1, se puede comprobar que la suma es 1. 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Otros ejemplos Ejemplo 1 Hallar el término que ocupa el 6ª lugar en el desarrollo de (3 - x)8 Tendrá 9 términos su desarrollo ( 8 + 1 ), pero sólo nos piden el 6º término. Seguimos desarrollando el T. de Tartaglia hasta la 9ª fila, obteniendo: 1 8 28 56 70 56 28 8 1 tomamos el 56 Igualmente podíamos haber hecho C8,6-1 = C8,5 = 56 Como ocupa lugar par, y el binomio es una resta, pondremos -56 al coeficiente. Ahora, en nuestro ejemplo: a=3 y b= x 8 3 5 Finalmente aplicando restantes propiedades : (3 – x) = ... - 56. 3 . x + ... @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo 2 Hallar el término que ocupa el 8ª lugar en el desarrollo de : 11 (x + 2) Tendrá 12 términos su desarrollo ( 11 + 1 ), pero sólo nos piden el 8º término. C11,8-1 = C10,7 = 10! / 7!.3! = 10.9.8/6 = 15.8=120 11 4 7 4 Finalmente queda: (x+2) = ... + 120. x . 2 + ... = 15360.x Ejemplo 3 Hallar el término que ocupa el 3ª lugar en el desarrollo de : 27 (x - 5) Tendrá 28 términos su desarrollo ( 17 + 1 ), pero sólo nos piden el 3º término. C27,3-1 = C27,2 = 27! / 2!.25! = 27.26/2 = 351 27 25 2 25 Finalmente: (x – 5) = ... – 351. x . 5 + ... = … – 8775.x + … @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B