Funciones Ortgonales Hemos estudiado ya, en el cálculo infinitesimal, los vectores en el espacio de dos y tres dimensiones, y sabe que dos vectores no cero son ortogonales cuando su producto punto, o producto interno, es cero. Al dejar ese nivel, las nociones de vectores, ortogonalidad y producto interno pierden, con frecuencia, su interpretación geométrica. ¿y qué pasa si x toma valores continuos?

Funciones Ortgonales Estos conceptos se han generalizado es muy comúnn imaginar que una función es un vector. En consecuencia, podemos decir que dos funciones distintas son ortogonales cuando su producto interno es cero. En este caso, veremos que el producto interno de los vectores es una integral definida

Espacios de Funciones Los vectores en el espacio R  se pueden pensar como funciones evaluadas en valores discretos de una variable, por ejemplo, la sucesión geométrica [1, 1/2, 1/4, 1/8,...] es la función f(x)=(1/2) x, valuada en x=0,1,2,3,... En forma similar, la sucesión aritmética [2, 4, 6, 8, 10,...] Se expresa como la función f(x) =2x+2 valuada en x=0,1,2,3,... ¿y qué pasa si x toma valores continuos?

Espacios de Funciones Si x toma valores continuos en el intervalo de números reales [a,b] los vectores se transforman en funciones de valor real en ese intervalo. Sin embargo, este conjunto de funciones es demasiado extenso y sólo algunos subconjuntos son de interés, especialmente los de funciones de norma finita. ¿Pero y... Como se define la norma de una función?

Espacios de Funciones La manera natural de redefinir el producto interno para funciones, es transformando la sumatoria en una integral, así, para las funciones f, g definidas en el intervalo [a,b]: De acuerdo a esto, la norma de la función f, será

Espacios de Funciones Ejemplo: Para las funciones f(x) = sen(x), g(x)=cos(x), definidas en el intervalo [0,2  ] a)Producto interno: = 0, es decir, son funciones ortogonales. b)Normas: =  =  a)Normalización: las siguientes funciones son ortonormales:

Espacios de Funciones Ejemplo: a)¿Cuál es el ángulo  entre las funciones del ejemplo anterior?, es decir,  =90° b)¿cuál es la proyección ortogonal de la función h(x) = sin(x+  ) sobre sin(x)? =cos(  ) sin(x) Lo cual era de esperarse, ¿porqué?

Espacios de Funciones Tarea: a)¿Cuál es el ángulo de la función h(x)=cos(x+  ), respecto a f(x)=sin(x)? b)¿Cuál es la proyección ortogonal de h sobre f? c)¿y sobre g(x)=cos(x)? d)¿Cuál es la norma de h(x)?

Espacios L 2 Las Normas l p definidas para vectores en R  se transforman en las normas L p que se definen para una función f(x) en el intervalo [a,b]como sigue Así, las funciones de norma L 2 finita conforman el conjunto de funciones de cuadrado integrable o Espacio L 2.

Espacios L 2 Ejemplo: ¿Para que valores de r la siguiente función está en L 2 considerando el intervalo [0,1]? f(x) = x r Solución: como Entonces la función x r pertenece a L 2 si y sólo si r > -1/2

Espacios L 2 La siguiente gráfica representa la función f(x)=x r para diferentes valores de r

Bases de Espacios L 2 Si tuvieramos una base para un espacio de funciones podríamos expresar cualquier función como una Combinación Lineal (serie) de funciones de la base. Algunas bases comúnmente utilizadas son: {1,x,x 2,x 3,...}  Series de Taylor {1,senx,cosx,sen2x,cos2x,...}  Series de Fourier {1,senx+cosx,sen2x+cos2x,...}  Series de Hartley

Bases Ortogonales Dada una base {f 1,f 2,f 3,...} de L 2 es posible obtener la serie correspondiente de una función arbitraria f calculando los coeficientes c 1,c 2,... de dicha serie: f= c 1 f 1 +c 2 f 2 +c 3 f Esto en general es complicado, pero si la base es ortogonal el problema se vuelve simple. De hecho, el planteamiento es válido para cualquier espacio vectorial. Y los coeficientes calculados no son más que las coordenadas del vector f en la base dada.

Bases Ortogonales Sea por ejemplo {b 1,b 2,b 3,...b n } una base de R n, y sea x=[x 1,x 2,x 3,...,x n ] un vector arbitrario en R n, entonces: x= c 1 b 1 +c 2 b 2 +c 3 b c n b n Si la base no es ortogonal, esto conduce a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Pero si la base es ortogonal, tomando el producto interno con b 1 tenemos = c 1 +c c n De donde

Bases Ortogonales En forma similar: Y si la base es ortonormal: las expresiones se reducen a:

Bases Ortogonales Ejemplo: En R 2, sea la base a)Verificar que es una base ortonormal b)Encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x 1,x 2 ] en esta base. Solución: a)En efecto, = =1 y =0. b)c 1 = = (x 1 -x 2 )/  2 c 2 = = (x 1 +x 2 )/  2

Bases Ortogonales Tarea: a)En R 2, proponer una base ortonormal diferente a la del ejemplo anterior y encontrar las coordenadas del vector arbitrario x=[x 1,x 2 ] en dicha base. b)Sea {b 1,b 2,...b n } una base no ortogonal de R n, y sea x=[x 1,x 2,...,x n ] un vector arbitrario en R n, usar el producto interno para expresar la matriz A del sistema Ac=x, donde x es el vector arbitrario y c es el vector de las coordenadas c 1,c 2,...,c n de x la base dada

Series de Fourier Al igual que en cualquier espacio vectorial, en L 2 las bases ortogonales facilitan el cálculo de las coordenadas de un vector arbitrario. Una base ortogonal en el intervalo [0,2  ] para L 2 es la siguiente {1, sen(x), cos(x), sen(2x), cos(2x),...} Ya que:

Series de Fourier Así, una función arbitraria f(x) definida en el intervalo [0,2  ], se puede expresar en ese intervalo como Combinación Lineal (Serie de Fourier) de las funciones de la base anterior, como: f(x)=a 0 +a 1 cos(x)+a 2 cos(2x)+a 3 cos(3x)+... +b 1 sen(x)+b 2 sen(2x)+b 3 sen(3x)+... Donde los coeficientes a 0,a 1,a 2,a 3,...,b 1,b 2,b 3,... Son las coordenadas de la función f(x) en la base dada y se calculan como ya se dijo, es decir:

Series de Fourier Para k=0,1,2,3,4,... La serie obtenida para f(x) será válida solamente en el intervalo [0,2  ] si f(x) está en L 2. Si queremos generalizar la serie de Fourier para cualquier valor de x f(x) deberá cumplir las condiciones de Dirichlet

Series de Fourier Ejemplo: Encontrar la serie de Fourier para la siguiente función:

Series de Fourier Solución: Calculamos los coeficientes a k : en forma similar para los coeficientes b k : Por lo cual, la serie de fourier queda:

Series de Fourier En la siguiente figura se muestran la primera y la quinta componentes de la serie:

Series de Fourier El Fenómeno de Gibbs:

Series de Fourier El Fenómeno de Gibbs:

Series de Fourier El Fenómeno de Gibbs:

Series de Fourier El Fenómeno de Gibbs:

Series de Fourier Tarea: 1) Obtener la serie de Fourier para la siguiente función: 2) Hacer un programa en Matlab para ilustrar el fenómeno de Gibbs para la función del inciso anterior

Series de Fourier Funciones Pares e Impares: Una función par es una función simétrica respecto al eje vertical, es decir, f(x) es par si f(x) = f(-x)

Series de Fourier En forma similar, una función f(x) se dice función impar si es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente -f(x) = f(-x)

Series de Fourier Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)= x+1/x, g(x)=1/(x 2 +1), h(x)=i(x 2 ) donde i es una función arbitraria. Solución: Como f(-x) = -x - 1/x = -f(x), f es función impar. Como g(-x)=1/((-x) 2 +1)=1/(x 2 +1)=g(x), g es función par. Como h(-x) = i((-x) 2 ) = i(x), h es función par.

Series de Fourier Tarea: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(x)=x 3 -1/x, g(x)=x 2 /(x 2 +1), h(x)=i(x 2 +1) donde i es una función arbitraria. Verificar en cada caso con la gráfica de la función en el intervalo [- 1,1], en el caso de la función i proponerla arbitrariamente para graficar.

Series de Fourier Como la función sen(kx) es una función impar para todo k  0 y la función cos(kx) es una función par para todo k, es de esperar que: –Si f(x) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto b k =0 para todo k –Si f(x) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto a k =0 para todo k