TEMA 2: FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Función.Definición Regla que relaciona los elementos de dos conjuntos. A cada elemento del conjunto inicial le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto final

Ejercicio ¿ Cuál de estas dos expresiones es una función?

Dominio El subconjunto de números reales para los cuales existe la función Ejemplo

RECORRIDO El conjunto de números reales que toma una variable

Ejercicio Dominio y recorrido de la función:

Dominios y Recorridos de Funciones

Las Funciones polinómicas : están definidas para todo número real El recorrido de las funciones potencia n-ésima será: El intervalo [0, ∞) si n es par. Todo R si n es impar.

Funciones racionales Su dominio es toda la recta real excepto las raíces de Q(x)

Funciones irracionales Caso 1: n par Dom ( f ) = Caso 2: n impar Dom ( f )=

Funciones exponenciales El dominio de la función exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0, ∞) . Las funciones exponenciales son continuas en todo R. 􀁜

Funciones logarítmicas El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. Las funciones logarítmicas son la función inversa de las exponenciales

Funciones a trozos f(x) = Calcula f (2) = Calcula f (4) =

Funciones trigonométricas seno Función seno, . Características principales: y = sen (x) -Su dominio es R 􀁜. -Su recorrido es el intervalo [-1,1]

Función coseno Función coseno, . Características principales: y =cos (x) -Su dominio es R -Su recorrido es el intervalo [-1,1]

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Son los pares de elementos que se pueden representar gráficamente en un plano cartesiano. Para representar gráficamente una función : Damos valores Estudiamos el comportamiento de la función.

Ejercicio Aproximar a la gráfica de la función construyendo una tabla de valores ( dando valores)

Características de las gráficas de funciones Función creciente y decreciente Función cóncava y convexa Función acotada

Funciones crecientes y decrecientes Una función es creciente en un intervalo si para un par de números a y b del intervalo a<b →f(a) < f(b) Una función es decreciente en un intervalo si para un par de números a y b del intervalo a<b →f(a) > f(b)

Funciones convéxas y cóncavas Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva. Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

Funciones acotadas Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k. El número k se llama cota superior Ejercicio: ¿ cuál es la cota superior de la siguiente función?

Funciones acotadas Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′. El número k′ se llama cota inferior. Ejercicio: ¿ cuál es la cota inferior de la siguiente función?

Ejercicio ¿ Está la función f(x) = sen x acotada? ¿ cota inferior? ¿ cota superior?

Tipos básicos de transformaciones en una función Apuntes

Operaciones entre funciones (f+g) (x) = f(x)+g(x) (f-g) (x)= f(x)-g(x) (f.g) (x)= f(x).g(x) (f/g)x= f(x)/g(x) producto por un escalar : (a f)(x)=a f(x)

Composición de funciones Consiste en la aplicación reiterada de dos o mas funciones. Por ejemplo:Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. Ejemplo: f (x) =2x y g(x) =3x+1 (g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

Propiedades Asociativa: f o (g o h) = (f o g) o h No es conmutativa. f o g ≠ g o f

Ejercicios composición de funciones

Soluciones al primer ejercicio

Soluciones al segundo ejercicio

Soluciones al tercer ejercicio

Función inversa Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1 (b) = a. El dominio de f−1 es el recorrido de f. El recorrido de f−1 es el dominio de f. Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Calculo de la función inversa Se escribe la ecuación de la función con x e y. Se despeja la variable x en función de la variable y. Se intercambian las variables.

Ejercicio de función inversa