Matemáticas Acceso a CFGS ASÍNTOTAS Bloque III * Tema 115 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS ASÍNTOTAS ASÍNTOTAS VERTICALES La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x a Pueden ser asíntotas verticales todas las rectas x=a, donde “a” no forma parte del dominio de las funciones racionales. EJEMPLO_1 Sea la función f(x) = 3 / (x – 2) En x = 2 la función no existe. Lím f(x) = Lím ( 3 / (x – 2) = 3 / (2-2) = 3 / 0 = oo x 2 x  2 x = 2 es una Asíntota Vertical. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS ASÍNTOTAS HORIZONTALES La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si: Lím f(x) = b x ± oo En la práctica si una función presenta asíntotas verticales y asíntotas horizontales, podemos descartar en la mayoría de los casos que presente asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función f(x) = 1 / x Lím f(x) = Lím 1 / x = 1 / oo = 0 x oo La recta y = 0 es una Asíntota Horizontal. La función f(x) = k / (x – m) , para cualquier valor real de k y de m, tendría un comportamiento similar a la del ejemplo cuando x  ± oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS ASÍNTOTAS OBLICUAS La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x ± oo x x± oo En la práctica, siempre que una función racional no presente asíntotas horizontales debemos suponer que existen asíntotas oblicuas. Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x f(x) x2 – 3 x2 3 m = Lím ------ = Lím -------- = Lím ----- – ---- = 1 – 0 = 1 x oo x x oo x2 x oo x2 x2 n = Lím [ f(x) – m.x ] = Lím [(x2 – 3) / x - x = Lím [- 3 / x2 ] = 0 xoo xoo La recta y = 1.x + 0  y = x es una asíntota oblicua. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS OTRA FORMA DE HALLAR ASÍNTOTAS OBLICUAS Se efectúa la división de polinomios indicada en la función: f(x) = D(x)/d(x) Quedando: f(x) = c(x) + r(x)/d(x) El cociente c(x) resultante es la asíntota oblicua: y = c(x) Ejemplo_1 Sea la función: f(x) = (x2 – 3) / x x2 – 3 - 3 -------- = x + ----- ; y = x es la asíntota oblicua ; - 3 es el resto x x Ejemplo_3 Sea la función: f(x) = (x2 – 5.x + 3) / (x – 1) x2 – 5.x + 3 - 1 ---------------- = x – 4 + -------- ; y = x – 4 es la asíntota oblicua ; - 1 es el resto x – 1 x – 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Gráfica Ejemplo_1 Y 1 x2 – 3 f(x) = -------- x Límite por la derecha de 0: x2 – 3 – 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0+ x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0- x - 0 0 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Gráfica Ejemplo_2 Y x2 + 3 f(x) = -------- x Límite por la derecha de 0: x2 + 3 +3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x0+ x +0 pues x vale algo más de 0. Límite por la izquierda de 0: x2 + 3 + 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x0- x - 0 Mín 0 3 x Max @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Problema propuesto Alguno de nosotros hemos ido a una academia a aprender mecanografía . Un estudio realizado nos indica la relación que hay entre el número de p.p.m. de un alumno al estudiar mecanografía y el número de clases impartidas. La función resultante es: f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases Vamos a trabajar con la función. En primer lugar averigua el número de horas de academia que debes pagar para asegurarte tener 120 ppm; o para tener 240; o para tener 300; o por qué no, llegar a las 350. Analiza las ppm obtenidas en los mayores valores dados a “x”. Incluso puedes dar algún valor mayor de 350. ¿Qué pasa con dichos valores ?. Calcula el límite de la función cuando x oo, o sea cuando toma valores muy grandes. Posiblemente te dé un valor finito. ¿Qué significa? Construye la Gráfica para visualizar mejor la función. Lleva lo que corresponda a la gráfica. ¿Lo ves?. Coméntalo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Otro problema propuesto En un laboratorio se ha obtenido la siguiente fórmula de un compuesto y = 75.x /(x+1) Siendo y el porcentaje de curaciones y x la cantidad en mgr de un determinado componente. Averigua la cantidad necesaria del componente para obtener el 25%, el 50%, el 75% y el 100% de curaciones. Representa gráficamente dicha función para poder visualizar el proceso y comprender algunas “rarezas” que te han debido salir en los anteriores cálculos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS