Transformaciones isométricas

Aprendizajes esperados Conocer los movimientos en el plano cartesiano. • Aplicar traslación en puntos y figuras. • Identificar vectores de traslación utilizando posición inicial y final. • Aplicar rotaciones a puntos y figuras planas. • Aplicar simetría axial a puntos y figuras planas.

Transformaciones isométricas Contenidos Transformaciones isométricas Traslación Simetría central Rotación Simetría axial

Transformaciones isométricas La palabra isometría, significa “igual medida”, por lo tanto, en una transformación isométrica: 1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura (figuras congruentes). 2) Solo cambia la posición (orientación o sentido de esta). Tipos de transformaciones isométricas - Traslación - Rotación - Simetría

Traslación Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño. Una traslación en el plano cartesiano, corresponde a una aplicación T(a, b) que transforma un punto P(x,y), en otro P´(x + a, y + b). T(a, b) P(x, y) P´( x + a, y + b ) Ejemplo Trasladar el punto P(1, 2) según el vector traslación T(3, 4). T(3, 4) P(1, 2) P´(1 + 3, 2 + 4) (Sumando cada componente) P´(4, 6)

Traslación Gráficamente, se tiene que en el plano cartesiano: T(3, 4) -1 1 2 3 4 y x 5 -3 -2 -4 P´ 6 5 P

Rotación Corresponde a un movimiento circular en un ángulo determinado con respecto a un centro de rotación. O: centro de rotación < α: ángulo de rotación α O La rotación es positiva si es en sentido contrario a los punteros del reloj.

R R Rotación < Ejemplo Rotar la figura en 90° con respecto al punto O. R < R 90° O

Rotación En el plano cartesiano, si se rota un punto con respecto al origen en ciertos ángulos, se pueden conocer las coordenadas de la imagen de este. Si el punto tiene coordenadas A(x, y) y se rota en alguno de estos ángulos: 90°, 180°, 270° ó 360°, las coordenadas resultantes de la imagen vienen especificadas en la siguiente tabla: 90° 180° 270° 360° A(x,y) Punto Ángulo (– y, x) (– x, – y) (y, – x) (x, y)

Rotación Ejemplo Rotar el punto A(3, – 4) en 90° con respecto al origen. Sabemos que si rotamos el punto A(x, y) en 90° con respecto al origen, éste cambia a las coordenadas A’(– y, x). Rotar en 90° A(3, – 4) A´(4, 3)

Simetría axial Se puede considerar una simetría axial como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo (refleja la figura). Eje de simetría En la simetría axial, cada punto de la figura original está a la misma distancia del eje que su imagen.

Simetría axial Ejemplo Encontrar el punto simétrico de A(3, 4) si el eje de simetría es la recta y = 2. 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 A Eje de Simetría: y = 2 A’ El punto A(3, 4) está 2 unidades sobre el eje de simetría (y = 2), luego su simétrico debe estar 2 unidades bajo el eje, es decir, el punto A’(3, 0).

Simetría axial Ejemplo ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado? Una recta será eje de simetría del cuadrado si lo divide en dos partes simétricas. - Al trazar una diagonal: La diagonal es un eje de simetría. La otra diagonal también es eje de simetría. Al trazar una recta por los puntos medios de dos lados opuestos: Esta recta es un eje de simetría. La recta que pasa por los puntos medios del otro par de lados opuestos también es eje de simetría. Luego, el cuadrado tiene 4 ejes de simetría.

Simetría axial Si la simetría axial de un punto es respecto a los ejes coordenados, se pueden obtener las coordenadas de la imagen como: - Simetría con respecto al eje X. (Se mantiene la primera coordenada, y se cambia de signo la segunda) (x, y) (x, – y) - Simetría con respecto al eje Y. (x, y) (– x, y) (Se mantiene la segunda coordenada, y se cambia de signo la primera)

Simetría central Corresponde a la reflexión de una figura respecto a un punto. O A´ A O : centro de simetría AO = OA’ La simetría central con respecto al origen, es equivalente a una rotación en 180º con respecto al origen.

Apliquemos nuestros conocimientos 1. Al punto P(– 9, – 4) se le aplicó una traslación obteniéndose el punto P’(2, – 2). ¿Cuáles son las coordenadas del vector traslación? A) (– 2, – 2) B) (11, – 2) C) (11, 2) D) (– 11, 2) E) (– 11, – 2) ¿Cuál es la alternativa correcta?

C Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: Sea T(x, y) el vector traslación que mueve el punto P(– 9, – 4) hasta el punto P’(2, – 2). C Entonces se tiene: P(– 9, – 4) + T(x, y) = P’(2, – 2) Sumando las coordenadas: Habilidad: Aplicación (– 9 + x, – 4 + y) = (2, – 2) Igualando las componentes se tienen dos ecuaciones: – 9 + x = 2 – 4 + y = – 2 (Despejando las incógnitas en ambas ecuaciones) x = 2 + 9 y = – 2 + 4 x = 11 y = 2 Por lo tanto, el vector traslación es T(11, 2).

Apliquemos nuestros conocimientos 2. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a una rotación de 270° de la figura con respecto al punto P? A) B) C) D) E) P ¿Cuál es la alternativa correcta?

C Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Comprensión Resolución: Una rotación positiva gira la figura en sentido anti horario en el ángulo dado. C P 270° Habilidad: Comprensión Luego, la figura que mejor representa una rotación en 270° es la de la alternativa C).

Apliquemos nuestros conocimientos 3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSAS? Al rotar el punto R(1, 2) en 360° con respecto al origen, se obtiene el punto R’(2, 1). II) Al trasladar el punto Q(– 4, – 1) según el vector T(– 2, – 1), se obtiene el punto Q’(– 6, – 2). III) Si al punto S(– 2, 3) se le aplica una rotación negativa de 270°, se obtiene el punto S’(– 3, 2). A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III ¿Cuál es la alternativa correcta?

Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: Analizando las opciones: Al rotar el punto R(1, 2) en 360° con respecto al origen, se obtiene el punto R’(2, 1). Al rotar un punto A(x, y) en 360° con respecto al origen, se obtiene un punto de coordenadas A’(x, y). Esto quiere decir, que el punto A queda con las mismas coordenadas. Por lo tanto, la imagen de R(1, 2) al rotarlo en 360° es R’(1, 2). Luego, la opción I) es Falsa.

Apliquemos nuestros conocimientos Resolución: II) Al trasladar el punto Q(– 4, – 1) según el vector T(– 2, – 1) se obtiene el punto Q’(– 6, – 2). Al trasladar el punto Q en el vector T se tiene: Q(– 4, – 1) + T(– 2, – 1) = (Sumando las coordenadas) (– 4 + – 2, – 1 + – 1) = (– 6, – 2) Por lo tanto, el punto Q’ = (– 6, – 2). Luego, la opción II) es verdadera.

E Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Análisis Resolución: III) Si al punto S(– 2, 3) se le aplica una rotación negativa de 270° se obtiene el punto S’(– 3, 2). Una rotación negativa de 270° es equivalente a una rotación positiva de 90°. Al rotar positivamente el punto (x, y) en 90° se tiene el punto de coordenadas (– y, x). Al rotar el punto S(– 2, 3) se obtiene el punto S’(– 3, – 2). Por lo tanto, la opción III) es Falsa. E Como debemos considerar solo las Falsas, I) y III), la alternativa correcta es E). Habilidad: Análisis

Apliquemos nuestros conocimientos 4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico de P(3, – 6) con respecto al origen? A) P’(– 6, – 3) B) P’(– 6, 3) C) P’(– 3, – 6) D) P’(– 3, 6) E) P’(6, – 3) ¿Cuál es la alternativa correcta?

D Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: Como el origen es el punto (0, 0), el punto simétrico de P(3, – 6) corresponde a una simetría central. La simetría central con respecto al origen, corresponde a una rotación en 180°. D Habilidad: Aplicación y x 3 6 –3 –2 –6 Una rotación en 180° en torno al origen cambia un punto (x, y) en (– x, – y) Centro de rotación P’ Aplicando la rotación en 180°: 180° P P’(3, – 6) P’(– 3, 6)

Apliquemos nuestros conocimientos 5. Al punto P(– 5, 7) se le aplica una simetría con respecto al origen; luego, una traslación mediante el vector T(– 3, 2); y finalmente, una simetría con respecto al eje Y. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen de P después de aplicar dichas transformaciones isométricas? A) (– 2, – 5) B) (– 2, 5) C) (2, – 5) D) (2, 5) E) (5, – 2) ¿Cuál es la alternativa correcta?

A Apliquemos nuestros conocimientos Habilidad: Aplicación Resolución: 1°: Aplicando la simetría central en torno al origen (es equivalente a una rotación en 180°): 180° Habilidad: Aplicación P(– 5, 7) P’(5, – 7) 2°: Al punto P’ se le aplica una traslación mediante el vector T(– 3, 2). T(– 3, 2) P’(5, – 7) P’’(5 + (– 3) , – 7 + 2) = P’’(2, – 5) 3°: Al punto P’’ se le aplica una simetría con respecto al eje Y. Simetría eje Y P’’(2, – 5) P’’’(– 2, – 5) Luego, las coordenadas de la imagen de P(– 5, 7) después de las sucesivas transformaciones isométricas son (– 2, – 5).

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