Práctica 4 Métodos Directos para Sistemas de Ecuaciones Lineales

vAplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Lineales vMétodo de eliminación de Gauss vLimitaciones de los Métodos Directos

Una red eléctrica R1R1 R3R3 R4R4 R1R1 R2R2 R4R4 R1R1 R2R2 R4R4 R1R1 R2R2 R4R4 V I4I4 I3I3 I2I2 I1I1 a b cd

Una red de calles x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x6x6 x7x7 x5x5 A D B E C F

Matriz de incidencia

Ecuación del Calor vModelo matemático v Matriz asociada T 0 T 1 T 2...T n T n+1

Teorema de Rouché- Frobenius v El sistema A mn x = b es compatible si y sólo si rango(A) = rango(A|b) v Un sistema compatible es determinado sii rango(A) = n v Un sistema compatible indeterminado tiene n – rango(A) variables libres vSolución x c = x p + núcleo(A)

Eliminación de Gauss Operaciones elementales vEliminar fila i tomando la fila k como pivote  l ik = a ik / a kk, a ij = a ij  l ik * a kj  A(i,:) = A(i,:) - L(i,k)*A(k,:); vEscalar fila i dividiéndola por el pivote a ii s a ij = a ij / a ii  A(i,:) = A(i,:)/A(i,i); vPermutar las filas i y k s a ik a ki s A([i,k],:) = A([k,i],:);

vSistema inicial vTriangularización vSustitución regresiva Fases de la eliminación Ax = b Ux = c x = A –1 b

Factorización LU Sistema original Ax = b LUx = b LUx = b Sistemas triangulares Ly = b Ux = y »[L,U] = lu(a) »[L,U,P] = lu(a) vResolución de múltiples sistemas con la misma matriz. vInversa por el método de Jordan-Gauss

Limitaciones de los Métodos Directos vAcumulación del error de redondeo u Coste de la eliminación: O(n 3 ) vSensibilidad al error de redondeo u Sistemas mal o bien condicionados u Número de condición vEstrategia de Pivotación Parcial vLlenado de la matriz. u Matrices dispersas

Sensibilidad al error de redondeo vSistema mal condicionado : u Un pequeño cambio en la matriz causa un gran cambio en la solución. vSistema bien condicionado : u Pequeños cambios en la matriz causan pequeños cambios en la solución. vCondicionamiento de una matriz

Número de condición de una matriz  cond mide el mal condicionamiento cond(eye(n))=1 cond(matsingular) = inf  rcond mide el buen condicionamiento rcond(eye(n))=1 rcond(matsingular) = 0  rcond y det

Pivotación parcial vUn algoritmo deficiente puede arruinar un sistema bien condicionado. vEstrategia: Elegir como pivote el elemento de mayor valor absoluto del resto de la columna.  El operador \ para resolver Ax = b

Matrices Dispersas vCreación de matrices dispersas u sparse(A) u full(a) u speye(n)  Operaciones usuales  + - * \ lu vOtras funciones de MATLAB u issparse(A) u spy(a)

Matrices estructuradas vMatrices banda vMatrices tridiagonales vEcuación del Calor vCoste de las operaciones con matrices dispersas vEliminación en sistemas tridiagonales