Matemáticas Aplicadas CS I DISTRIBUCIÓN NORMAL Tema 15 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

CÁLCULO DE PROBABILIDADES: USO DE TABLAS Tema 15.3 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I D. N. TIPIFICADA DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA Una distribución normal, N(μ, σ ), vimos que presenta la forma de una campana de Gauss. Cuando μ=0 y σ=1, nos encontramos con una distribución normal tipificada o estándar: N( 0, 1) La principal ventaja es que se dispone de Tablas elaboradas para calcular todo tipo de probabilidades. Veamos algunos ejemplos. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 1 Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1), hallar a partir de la tabla de la d.n. tipificada: P ( Z ≤ 1,23 ) En la tabla tomamos la fila 1,2 ( unidades, décimas del valor de Z ) Y la columna 0,03 ( centésima del valor de Z). El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P. Z 0,00 0,01 ........ 0,03 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5120 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5517 0,5753 .... .......... ......... 1,1 0,8643 0,8665 0,8708 1,2 0,8849 0,8869 0,8907 ..... ....... 3,9 1,0000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Gráfica del ejemplo_1 Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1), hallar a partir de la tabla de la d.n. tipificada: P ( Z ≤ 1,23) Lo que hemos hecho con la ayuda de la Tabla es calcular el área comprendida entre la función de densidad y el eje de abscisas, entre xi = -3 y xi = 1,23 Esa áreas vale 0,8907 , que es la probabilidad pedida. -3 -2 -1 0 1,23 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO_2 Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1), hallar a partir de la tabla de la d.n. tipificada: P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) Calculemos P ( Z ≤ 2,15) En la tabla tomamos la fila 2,1 ( unidades, décimas del valor de Z ) Y la columna 0,05 ( centésima del valor de Z). El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P Z 0,00 0,01 ........ 0,05 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5199 0,5359 .... .......... ......... 2,0 0,9772 0,9778 0,9798 2,1 0,9821 0,9826 0,9842 ..... ....... 3,9 1,0000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Razonamiento: P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) = P( Z ≤ 1,23) - P( Z ≤ - 2,15) = = P( Z ≤ 1,23) - P( Z ≥ 2,15) = = P( Z ≤ 1,23) - [ 1 - P( Z ≤ 2,15)] = = P( Z ≤ 1,23) + P( Z ≤ 2,15) - 1 P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) = = 0,8907 + 0,9842 – 1 = = 1,8749 – 1 = 0,8749 Que como era de esperar es menor que la del ejemplo anterior. NOTA: Por las Tablas NO se puede calcular ni P( Z ≤ - 2,15) ni P( Z ≥ 2,15) . Sólo P (Z ≤ k) , siendo k POSITIVO -3 -2’15 -1 0 1,23 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO_3 Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1), hallar a partir de la tabla de la d.n. tipificada: P (0 ≤ Z ≤ 2,95) Calculemos P ( Z ≤ 0) En la tabla tomamos la fila 0,0 ( unidades, décimas del valor de Z ) Y la columna 0,00 ( centésima del valor de Z). El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P Z 0,00 0,01 ........ 0,05 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5199 0,5359 .... .......... ......... 3,9 1,0000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Razonamiento: P (0 ≤ Z ≤ 2,95) = P( Z ≤ 2,95) - P( Z ≤ 0) = = P( Z ≤ 2,95) - 0,5000 = = P( Z ≤ 2,95) – 0,5000 P (0 ≤ Z ≤ 2,95) = = 0,9984 – 0,5000 = = 0,4984 Que como era de esperar es menor que la del ejemplo anterior. NOTA: El 0 no tiene signo alguno, por tanto P( Z ≤ 0) = P( Z ≥ 0) = 0,5000 P( Z ≤ 2,95) = 0,9984 se ha hallado como en el Ejemplo_1 -3 -2 -1 0 2,95 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

CÁLCULO DE PROBABILIDADES: TIPIFICACIÓN PREVIA Tema 15.3bis * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I N( μ, σ )  D. N. TIPIFICADA DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA A efectos prácticos podemos convertir una distribución N( μ, σ ) en una distribución normal tipificada o estándar: N( 0, 1) , mediante el cambio: X - μ Z = ------------ σ Siendo X la variable aleatoria de la distribución N( μ, σ ), y Z la variable aleatoria correspondiente de la distribución normal tipificada N( 0, 1). Gracias a ese cambio de variable podemos utilizar las Tablas ya elaboradas para calcular probabilidades en una distribución normal como hemos hecho en el apartado anterior. Veamos algunos ejemplos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 1 Sea la distribución normal N(7, 1’5). Hallar la probabilidad de que X ≤ 8,845 Aplicamos el cambio: X - μ Z = ------------ σ 8,845 – 7 Z= -------------- = 1,23 1,5 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P ( Z ≤ 1,23 ) Pues P(X ≤ 8,845)= P ( Z ≤ 1,23 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 2 Sea la distribución normal N(7, 1’5). Hallar la probabilidad de ( 3,775 ≤ X ≤ 8,845 ) Aplicamos el cambio: 3,775 - 7 Z = ---------------- = - 2,15 1,5 8,845 – 7 Z= -------------- = 1,23 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (-2,15 ≤ Z ≤ 1,23 ) Pues P(3,775 ≤ X ≤ 8,845)= P (-2,15 ≤ Z ≤ 1,23 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejemplo 3 Sea la distribución normal N(7, 1’5). Hallar la probabilidad de (7 ≤ X ≤ 11,5) Aplicamos el cambio: 7 - 7 Z = ---------- = 0 1,5 11,5 – 7 Z= -------------- = 3 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (0 ≤ Z ≤ 3 ) Pues P(7 ≤ X ≤ 11,5) = P (0 ≤ Z ≤ 3 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I