Tema VI Límites y continuidad MATEMÁTICAS A. CS II Tema VI Límites y continuidad @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
Apuntes Matemáticas 2º BCS CÁLCULO DE LÍMITES Tema 6.2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
Propiedades de los Límites Si lím (f(x) = p y lím g(x) = q xa xa a) El límite de una suma es la suma de los límites: lím (f(x) ± g(x)) = p+q xa b) El límite de una constante por una función es la constante por el límite de f: lím k.f(x) = k. p c) El límite de un producto o división es el producto o división de los límites: lím (f(x) / g(x)) = p / q , excepto que q=0 d) El límite de una potencia es la potencia de los limites : g(x) q lím (f(x)) = p f) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím log f(x) = log lím f(x) = log p xa b b xa b @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
Apuntes Matemáticas 2º BCS Ejercicios Si lím (f(x) = 5 y lím g(x) = 3 , calcula: x2 x2 a) lím (f(x) + g(x) – 4 ) = lím f(x) + lím g(x) – 4 = 5 + 3 – 4 = 8 – 4 = 4 x2 x2 x2 b) lím 7.f(x) = 7. lím f(x) = 7.5 = 35 x2 x2 c) lím √ [ f(x) / g(x) ] = √ [ lím f(x) / lím g(x) ] = √ (5 / 3) = 5.√3 / 3 x2 x2 x2 d) g(x) 3 lím (f(x)) = 5 = 125 x2 f) lím log f(x) = log lím f(x) = log 5 = 1 / 2 x2 25 25 xa 25 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
De funciones polinómicas Para hallar el límite de una función polinómica, f(x)=P(x), en un punto se sustituye la variable por el valor de la abscisa. Lím f(x) = f(a) x a EJEMPLOS Lím x – 3 = 2 – 3 = – 1 x 2 Lím x2 + x = 32 + 3 = 9+3 = 12 x 3 Lím x3 +1 = (-1)3 + 1 = – 1 + 1 = 0 x (-1) Lím 5 + x2 – 3x = 5 + 02 – 3.0 = 5 + 0 – 0 = 5 x 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
De funciones radicales Para hallar el límite de una función radical, f(x)= √ P(x), en un punto se sustituye la variable por el valor de la abscisa. Pero no tiene sentido hallar el límite en un punto ajeno a su dominio. Lím f(x) = √ f(a) x a EJEMPLOS Lím √ (x – 3) = √ (2 – 3) = √– 1 Mal, pues Dom f(x) = [3, oo). x 2 Lím √ (x2 – 5) = √ 32 – 5 = √ 4 = 2 x 3 Lím √ (x3 + 9) = √(-8+9) = √1 = 1 x (-2) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
De funciones troceadas x – 4 , si x < 2 Función lineal Sea f(x) = - 2 , si x ≥ 2 Función constante Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x=2 Límite por la izquierda de x=2 Lím f(x) = Lím (x – 4) = 2 – 4 = – 2 x2- x2 Límite por la derecha de x=2 Lím f(x) = lím – 2 = – 2 x2+ x2 El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego en x=2 existe dicho límite y vale - 2. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
De funciones troceadas x2 – 4 , si x < 1 Función cuadrática Sea f(x) = x - 2 , si x ≥ 1 Función lineal Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x=1 Límite por la izquierda de x=1 Lím f(x) = lím (x2 – 4) = 12 – 4 = – 3 x1- x1 Límite por la derecha de x=1 Lím f(x) = lím (x – 2) = 1 – 2 = – 1 x1+ x1 El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego en x=1 no existe límite de la función. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
De funciones troceadas x – 2 , si x < - 1 Función lineal Sea f(x) = 1 / x , si x ≥ - 1 Función racional Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x = -1 Límite por la izquierda de x= -1 Lím f(x) = lím (x – 2) = (– 1) – 2 = – 2 x-1- x-1 Límite por la derecha de x= -1 Lím f(x) = lím (1 / x) = 1 /(– 1) = – 1 x-1+ x-1 El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego en x=-1 no existe límite de la función. Nota: En x=0, al no pertenecer al dominio, podría no haber límite. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
De cociente de funciones Una función racional, f(x)= P(x) / Q(x), es continua en todo su dominio, excepto en los puntos en que el denominador, Q(x), vale cero. Sin embargo, en dichos puntos la función puede tener límite, aunque sea discontinua. En ellas siempre ocurrirá que: Lím f(x) = f(a) , simplificando la expresión. x a EJEMPLOS x2 - x x . (x -1) Lím ------------ = Lím -------------- = Lím x – 1 = 0 – 1 = - 1 x 0 x x 0 x x 0 x2 - 9 (x + 3) . (x – 3) Lím ------------ = Lím ---------------------- = Lím x + 3 = 3+3 = 6 x 3 x – 3 x 3 (x – 3) x 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
Apuntes Matemáticas 2º BCS Indeterminada [0 / 0] Sabemos que 0 / k = 0 siempre. Sabemos que k / 0 = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente 0 / 0, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0 / 0] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se factoriza numerador y denominador [ Por Ruffini si hace falta ] y se simplifica la expresión resultante. (x-a) . C1(x) C2(x) Lím f(x) = [ 0 / 0 ] = Lím ------------------ = Lím --------- xa xa (x-a). C2(x) xa C2(x) Nota: Si el límite último vuelve a dar indeterminación, se volvería a realizar lo mismo. Observar que siempre “a” es una raíz de los polinomios a factorizar. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
Apuntes Matemáticas 2º BCS Ejemplo 1 x3 - 8 8-8 0 lím ------‑‑‑‑‑‑ = ‑----- = [---] = [ Factorizando por Rufinni…] x2 x - 2 2-2 0 1 0 0 - 8 2 2 4 8 1 2 4 0 (x -2) (x2 + 2x + 4 ) 22 + 2.2 + 4 12 lím ------‑‑‑‑‑‑‑‑----------- = ---------------- = ----- = 12 x2 (x- 2) 1 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
Apuntes Matemáticas 2º BCS Ejemplo 2 x3 - 2 √ 2 2 √ 2 - 2 √ 2 0 lím ------‑‑‑‑‑---‑ = ‑----------------- = [---] = [ Factorizando ..] x √ 2 x2 - 2 2 – 2 0 1 0 0 - 2 √ 2 √ 2 √ 2 2 2 √ 2 1 √ 2 2 0 (x - √ 2) (x2 + √ 2x + 2 ) 2 + 2 + 2 6 3 lím ------‑‑‑‑‑‑‑‑------------------ = ---------------- = --------- = ---- = x √ 2 (x- √ 2) (x + √ 2 ) 2 √ 2 2 √ 2 √2 = 3. √2 / 2 NO hay que olvidarse de racionalizar si fuera necesario. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS
Apuntes Matemáticas 2º BCS Ejemplo 3 x2 - 1 1 – 1 0 lím ----------‑‑‑‑‑‑ = ‑-------- = [---] = [ Factorizando …] x1 x2 – 2x + 1 1-2+1 0 1 - 2 1 1 1 - 1 1 - 1 0 (x – 1 ).(x + 1) 1 + 1 2 lím ------‑‑‑‑‑‑‑‑------- = ---------- = ----- = oo x1 (x – 1).(x – 1 1 – 1 0 No existe límite en x=1 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º BCS