Matemáticas 4º ESO Opción B TEMA 9 * 4º ESO Opc B SUCESIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B TEMA 9.2 * 4º ESO Opc B LÍMITE DE UNA SUCESIÓN @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Límite de una sucesión Una sucesión es una función real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales N. Una sucesión de números reales tiene por límite el número real a cuando, dado un número real r positivo, por pequeño que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes a él verifican: |an – a| < r El límite se representa por la notación. Lím an = a noo Si una sucesión tiene por límite un número real se llama convergente. En caso contrario se llama divergente. Aparece el +oo o el - oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo 1 2n - 1 Sea la sucesión an = -------- n Hallar su límite. Calcular la distancia entre el término a10 y el límite. Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una milésima. Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 1, a10 = 1’9, a100 = 1’99 Lím an = 2 noo Hallamos la distancia de a10 al límite | a10 - a | = |1,9 – 2| = |-0’1| = 0’1 Hallamos el término pedido: | an - a | < r  | an - 2 | < 0,001 2n – 1 2n – 1 – 2n | -------- - 2 | < 0,001  | ----------------- | < 0,001 n n 1/n < 0,001  1 < 0,001.n  1/0,001 < n  n > 1000  n=1001 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo 2 2 – 3n Sea la sucesión bn = --------- n + 1 Hallar su límite. Calcular la distancia entre el término b20 y el límite. Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una diezmilésima. Hallamos el valor de algunos términos: b1 = -0’5, b20 = -2’7619, b2000 = -2’9975 Lím bn = - 3 noo Hallamos la distancia de a20 al límite | b20 - b | = |- 2’7619 – (-3)| = |3 – 2’7619 | = 0’2381 Hallamos el término pedido: | bn - b | < r  | bn – (-3) | < 0,0001 2 – 3n 2 – 3n + 3n + 3 | ----------- - (-3) | < 0,0001  | --------------------- | < 0,0001 n + 1 n +1 5/(n+1) < 0,0001  5 < 0,0001.n + 0,0001  5 – 0’0001 < 0’0001n 4’9999 < 0,0001n  4’9999 /0’0001 < n  n > 49999  n=50000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Sucesión creciente y decreciente Sucesión creciente es aquella en que el valor de los términos crece respecto a los términos anteriores. Se deberá cumplir an+1 – an ≥ 0 Sucesión decreciente es aquella en que el valor de los términos decrece respecto a los términos anteriores. Se deberá cumplir an+1 – an ≤ 0 Si una sucesión es creciente y está acotada superiormente, entonces es convergente. Si una sucesión es decreciente y está acotada inferiormente, entonces es convergente. Si no se produce alguno de los casos anteriores entonces es divergente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo 1 3n - 1 Sea la sucesión an = -------- 2n Hallar su límite. Ver si es creciente o decreciente. Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 1, a10 = 1’45, a100 = 1’495 Lím an = 1,5 noo Crecimiento 3(n+1) – 1 3n + 1 n(3n+2) – (n+1)(3n+1) an+1 - an = -------------- – ----------- = ------------------------------- = 2(n+1) 2n 2n(n+1) 3n2 +2n – (3n2 +4n+1) – 2n – 1 – = ------------------------------- = -------------- = ---- = –  Decreciente 2n(n+1) 2n(n+1) + @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo 2 2 – n Sea la sucesión an = -------- n + 1 Hallar su límite. Ver si es creciente o decreciente. Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 0,5 a10 = -0,7272 a100 = -0,9703 Lím an = - 1 noo Crecimiento 2 – (n+1) 2 – n (n+1)(1 – n) – (n+2)(2 – n) an+1 - an = -------------- – ----------- = ----------------------------------- = (n+1) + 1 n + 1 (n+2)(n+1) 1 – n2 – (4 – n2) – 3 – = ----------------------- = ---------------- = ---- = –  Decreciente (n+2)(n+1) (n+2)(n+1) + @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B