ADRIANA MILENA ÁVILA REYES LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS NÚMEROS PRIMOS ADRIANA MILENA ÁVILA REYES LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

Un poco de historia D.H Lehmer 1732 Euler 1914 Lehmer 300 a.C Euclides Pitágoras 1632 Fermat 1752 Goldbach

Los números primos han inquietado a los matemáticos desde tiempos inmemoriales y han surgido numerables problemas que fascinan y motivan la imaginación, aunque algunos aun permanecen sin solución Existe siempre un primo por lo menos entre para cada entero n>1? ¿Contiene la secuencia de Fibonacci un número infinito de primos?

DEFINICIÓN Decimos que a es un numero primo si a es mayor que 1 y sus únicos divisores positivos son 1 y a, en caso contrario a se llama compuesto. en consecuencia, los números primos menores que 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

INFINITUD DE LOS NÚMEROS PRIMOS Proposición: los números primos son infinitos Demostración de Euclides. Esta demostración aparece en el año 300 antes de Cristo en el IX libro de la colección de trece llamada “ELEMENTOS” de Euclides y es un bonito ejemplo del método de demostración por reducción al absurdo.

demostración ejemplo Supongamos que hay un numero finito de números primos , Supongamos que los únicos números primos que existen son 2,3,5 y 7 Sea N= 2*3*5*7+1 y 2 es un divisor primo de N Como n es un número compuesto , debe dejarse dividir por al menos uno de los primos. N=211 Pero al dividir n por cada me deja residuo 1. Lo que contradice la definición de divisibilidad Por lo tanto existen infinitos números primos

Polinomios que me permiten obtener números primos

Teorema: existen infinitos primos de la forma 4x+1 Demostración. Sea a >1 un entero, demostraremos que existe un primo p>a tal que p es de la forma 4x+1. Sea m=(a!)²+1, obsérvese que m es impar y m >1 Sea p el menor número primo que divide a m, es claro que 2,3,…,a-1,a no son divisores de m ;así que p>a y p divide a m =(a!)²+1. Además tenemos, (a!)²+1=kp, para algún k entero.

Por el teorema de euler-fermat tenemos que Por lo tanto (a!)² (-1)( modulo p) Elevando ambos miembros de esta congruencia a la potencia (p-1)/2, obtenemos Por el teorema de euler-fermat tenemos que y por lo tanto Así que

Luego Así que , y esta diferencia debe ser divisible por p (p es primo mayor que 2), entonces la única posibilidad es que z= 0 Es decir que Finalmente se tiene que p=4x+1

Fermat descubrió que todo número primo de la forma 4x+1 tal como 5,13,17,29,37,…..es una suma de dos cuadrados.

Teorema: Existen infinitos primos de la forma 4x-1 Demostración. Supongamos que hay un número finito de primos de esta forma, y sea p el mayor de todos ellos. Consideremos ahora el entero a = 4(3*5*7*…* p )-1 a no puede ser primo ya que a > p

Además, ningún primo menor o igual que p divide a a , por lo que todos los factores primos de a exceden a p . Pero no es posible que todos los factores primos de a sean de la forma 4x+1, puesto que el producto de dos de tales números es de la misma forma. Luego algún factor primo de a debe ser de la forma 4x-1, lo que constituye una contradicción.

ALGUNAS CLASES DE NÚMEROS PRIMOS PRIMOS DE MERSENNE NUMERO PRIMO DE FERMAT NUMERO PRIMO DE SOPHIE GERMAIN NUMEROS PRIMOS GEMELOS NÚMEROS PRIMOS REVERSIBLES

237,156,667-1 11,185,272 dígitos

GRÁCIAS

Por ejemplo 5 =1²+2² 13=2²+3² 17=1²+4² 29=2²+5² 37=1²+6² 41=4²+5²

DEFINICIÓN : si a y b son enteros, decimos que a divide a b si existe un entero c tal que b=a*c

NÚMERO PRIMO DE MERSENNE Se dice que un número M es un número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia de 2. Mn = 2n − 1. Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo.

NÚMERO PRIMO DE FERMAT con n natural eran números primos Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma 22n + 1, con n natural eran números primos

NÚMERO PRIMO DE SOPHIE GERMAIN Un número primo p es un número de Sophie Germain si 2p+1 también es número primo. Ejemplo: con p=2, 2x2+1=5 que también es un número primo.

NÚMEROS PRIMOS GEMELOS Dos números primos (p, q) son números primos gemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si .

NUMEROS REVERSIBLES son aquellos que al leerlos al revés (de derecha a izquierda) dan un nuevo número primo. Ej. 13 y 31 o 1201 y 1021